Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblabsnc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblabsnc 33806
Description: Choice-free analogue of iblabs 23815. As with ibladdnc 33799, a measurability hypothesis is needed. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabsnc.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
iblabsnc.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
iblabsnc.m (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
iblabsnc (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iblabsnc
StepHypRef Expression
1 iblabsnc.m . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn)
2 iblabsnc.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
3 iblmbf 23754 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
5 iblabsnc.1 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
64, 5mbfmptcl 23624 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
76abscld 14395 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
87rexrd 10302 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ*)
96absge0d 14403 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
10 elxrge0 12495 . . . . . . 7 ((abs‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((abs‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
118, 9, 10sylanbrc 701 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
12 0e0iccpnf 12497 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]+∞)
1312a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
1411, 13ifclda 4265 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,]+∞))
1514adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,]+∞))
16 eqid 2761 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))
1715, 16fmptd 6550 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
18 reex 10240 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ V)
206recld 14154 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
2120recnd 10281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
2221abscld 14395 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
2321absge0d 14403 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘(ℜ‘𝐵)))
24 elrege0 12492 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℜ‘𝐵))))
2522, 23, 24sylanbrc 701 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞))
26 0e0icopnf 12496 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0[,)+∞)
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
2825, 27ifclda 4265 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
2928adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
306imcld 14155 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
3130recnd 10281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
3231abscld 14395 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ)
3331absge0d 14403 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘(ℑ‘𝐵)))
34 elrege0 12492 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘𝐵))))
3532, 33, 34sylanbrc 701 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞))
3635, 27ifclda 4265 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
3736adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
38 eqidd 2762 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)))
39 eqidd 2762 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))
4019, 29, 37, 38, 39offval2 7081 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))))
41 iftrue 4237 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) = (abs‘(ℜ‘𝐵)))
42 iftrue 4237 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) = (abs‘(ℑ‘𝐵)))
4341, 42oveq12d 6833 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
44 iftrue 4237 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) = ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
4543, 44eqtr4d 2798 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
46 00id 10424 . . . . . . . . . 10 (0 + 0) = 0
47 iffalse 4240 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) = 0)
48 iffalse 4240 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) = 0)
4947, 48oveq12d 6833 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = (0 + 0))
50 iffalse 4240 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) = 0)
5146, 49, 503eqtr4a 2821 . . . . . . . . 9 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
5245, 51pm2.61i 176 . . . . . . . 8 (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)
5352mpteq2i 4894 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
5440, 53syl6req 2812 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))))
5554fveq2d 6358 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) = (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))))
56 eqid 2761 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))
576iblcn 23785 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)))
582, 57mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1))
5958simpld 477 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
605, 2, 56, 59, 20iblabsnclem 33805 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ))
6160simpld 477 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
6229, 56fmptd 6550 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
6360simprd 482 . . . . . 6 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ)
64 eqid 2761 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))
6537, 64fmptd 6550 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
6658simprd 482 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
675, 2, 64, 66, 30iblabsnclem 33805 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ))
6867simprd 482 . . . . . 6 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ)
6961, 62, 63, 65, 68itg2addnc 33796 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))))
7055, 69eqtrd 2795 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))))
7163, 68readdcld 10282 . . . 4 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))) ∈ ℝ)
7270, 71eqeltrd 2840 . . 3 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) ∈ ℝ)
7322, 32readdcld 10282 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ)
7473rexrd 10302 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ*)
7522, 32, 23, 33addge0d 10816 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
76 elxrge0 12495 . . . . . . . 8 (((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
7774, 75, 76sylanbrc 701 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ (0[,]+∞))
7877, 13ifclda 4265 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) ∈ (0[,]+∞))
7978adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) ∈ (0[,]+∞))
80 eqid 2761 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
8179, 80fmptd 6550 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
82 ax-icn 10208 . . . . . . . . . . 11 i ∈ ℂ
83 mulcl 10233 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
8482, 31, 83sylancr 698 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
8521, 84abstrid 14415 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))) ≤ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(i · (ℑ‘𝐵)))))
86 iftrue 4237 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) = (abs‘𝐵))
8786adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) = (abs‘𝐵))
886replimd 14157 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
8988fveq2d 6358 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) = (abs‘((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
9087, 89eqtrd 2795 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) = (abs‘((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
9144adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) = ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
92 absmul 14254 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (abs‘(i · (ℑ‘𝐵))) = ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝐵))))
9382, 31, 92sylancr 698 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(i · (ℑ‘𝐵))) = ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝐵))))
94 absi 14246 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘i) = 1
9594oveq1i 6825 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝐵))) = (1 · (abs‘(ℑ‘𝐵)))
9632recnd 10281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
9796mulid2d 10271 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 · (abs‘(ℑ‘𝐵))) = (abs‘(ℑ‘𝐵)))
9895, 97syl5eq 2807 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝐵))) = (abs‘(ℑ‘𝐵)))
9993, 98eqtr2d 2796 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) = (abs‘(i · (ℑ‘𝐵))))
10099oveq2d 6831 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) = ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(i · (ℑ‘𝐵)))))
10191, 100eqtrd 2795 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) = ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(i · (ℑ‘𝐵)))))
10285, 90, 1013brtr4d 4837 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
103102ex 449 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))
104 0le0 11323 . . . . . . . . 9 0 ≤ 0
105104a1i 11 . . . . . . . 8 𝑥𝐴 → 0 ≤ 0)
106 iffalse 4240 . . . . . . . 8 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) = 0)
107105, 106, 503brtr4d 4837 . . . . . . 7 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
108103, 107pm2.61d1 171 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
109108ralrimivw 3106 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
110 eqidd 2762 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)))
111 eqidd 2762 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))
11219, 15, 79, 110, 111ofrfval2 7082 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))
113109, 112mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))
114 itg2le 23726 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))))
11517, 81, 113, 114syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))))
116 itg2lecl 23725 . . 3 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
11717, 72, 115, 116syl3anc 1477 . 2 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
1187, 9iblpos 23779 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
1191, 117, 118mpbir2and 995 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wral 3051  Vcvv 3341  ifcif 4231   class class class wbr 4805  cmpt 4882  wf 6046  cfv 6050  (class class class)co 6815  𝑓 cof 7062  𝑟 cofr 7063  cc 10147  cr 10148  0cc0 10149  1c1 10150  ici 10151   + caddc 10152   · cmul 10154  +∞cpnf 10284  *cxr 10286  cle 10288  [,)cico 12391  [,]cicc 12392  cre 14057  cim 14058  abscabs 14194  MblFncmbf 23603  2citg2 23605  𝐿1cibl 23606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227  ax-addf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-disj 4774  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-ofr 7065  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fi 8485  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-cda 9203  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-q 12003  df-rp 12047  df-xneg 12160  df-xadd 12161  df-xmul 12162  df-ioo 12393  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-seq 13017  df-exp 13076  df-hash 13333  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-clim 14439  df-sum 14637  df-rest 16306  df-topgen 16327  df-psmet 19961  df-xmet 19962  df-met 19963  df-bl 19964  df-mopn 19965  df-top 20922  df-topon 20939  df-bases 20973  df-cmp 21413  df-ovol 23454  df-vol 23455  df-mbf 23608  df-itg1 23609  df-itg2 23610  df-ibl 23611  df-0p 23657
This theorem is referenced by:  itgabsnc  33811  ftc1cnnclem  33815  ftc1anclem2  33818  ftc1anclem4  33820  ftc1anclem5  33821  ftc2nc  33826
  Copyright terms: Public domain W3C validator