MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblabs 23815
Description: The absolute value of an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabs.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
iblabs.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
iblabs (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iblabs
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblabs.2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 23754 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
4 iblabs.1 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
53, 4mbfmptcl 23624 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 eqidd 2772 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
7 absf 14285 . . . . . 6 abs:ℂ⟶ℝ
87a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
98feqmptd 6391 . . . 4 (𝜑 → abs = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑦)))
10 fveq2 6332 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → (abs‘𝑦) = (abs‘𝐵))
115, 6, 9, 10fmptco 6539 . . 3 (𝜑 → (abs ∘ (𝑥𝐴𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)))
12 eqid 2771 . . . . 5 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
135, 12fmptd 6527 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
14 ax-resscn 10195 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
15 ssid 3773 . . . . . . 7 ℂ ⊆ ℂ
16 cncfss 22922 . . . . . . 7 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ))
1714, 15, 16mp2an 672 . . . . . 6 (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ)
18 abscncf 22924 . . . . . 6 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
1917, 18sselii 3749 . . . . 5 abs ∈ (ℂ–cn→ℂ)
2019a1i 11 . . . 4 (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℂ))
21 cncombf 23645 . . . 4 (((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ ∧ abs ∈ (ℂ–cn→ℂ)) → (abs ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn)
223, 13, 20, 21syl3anc 1476 . . 3 (𝜑 → (abs ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn)
2311, 22eqeltrrd 2851 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn)
245abscld 14383 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
2524rexrd 10291 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ*)
265absge0d 14391 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
27 elxrge0 12488 . . . . . . 7 ((abs‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((abs‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
2825, 26, 27sylanbrc 572 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
29 0e0iccpnf 12490 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]+∞)
3029a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
3128, 30ifclda 4259 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,]+∞))
3231adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,]+∞))
33 eqid 2771 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))
3432, 33fmptd 6527 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
35 reex 10229 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
3635a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ V)
375recld 14142 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
3837recnd 10270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
3938abscld 14383 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
4038absge0d 14391 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘(ℜ‘𝐵)))
41 elrege0 12485 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℜ‘𝐵))))
4239, 40, 41sylanbrc 572 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞))
43 0e0icopnf 12489 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0[,)+∞)
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
4542, 44ifclda 4259 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
4645adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
475imcld 14143 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
4847recnd 10270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
4948abscld 14383 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ)
5048absge0d 14391 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘(ℑ‘𝐵)))
51 elrege0 12485 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘𝐵))))
5249, 50, 51sylanbrc 572 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞))
5352, 44ifclda 4259 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
5453adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
55 eqidd 2772 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)))
56 eqidd 2772 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))
5736, 46, 54, 55, 56offval2 7061 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))))
58 iftrue 4231 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) = (abs‘(ℜ‘𝐵)))
59 iftrue 4231 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) = (abs‘(ℑ‘𝐵)))
6058, 59oveq12d 6811 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
61 iftrue 4231 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) = ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
6260, 61eqtr4d 2808 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
63 00id 10413 . . . . . . . . . 10 (0 + 0) = 0
64 iffalse 4234 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) = 0)
65 iffalse 4234 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) = 0)
6664, 65oveq12d 6811 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = (0 + 0))
67 iffalse 4234 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) = 0)
6863, 66, 673eqtr4a 2831 . . . . . . . . 9 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
6962, 68pm2.61i 176 . . . . . . . 8 (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)
7069mpteq2i 4875 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
7157, 70syl6req 2822 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))))
7271fveq2d 6336 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) = (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))))
73 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))
745iblcn 23785 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)))
751, 74mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1))
7675simpld 482 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
774, 1, 73, 76, 37iblabslem 23814 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ))
7877simpld 482 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
7946, 73fmptd 6527 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
8077simprd 483 . . . . . 6 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ)
81 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))
8275simprd 483 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
834, 1, 81, 82, 47iblabslem 23814 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ))
8483simpld 482 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
8554, 81fmptd 6527 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
8683simprd 483 . . . . . 6 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ)
8778, 79, 80, 84, 85, 86itg2add 23746 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))))
8872, 87eqtrd 2805 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))))
8980, 86readdcld 10271 . . . 4 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))) ∈ ℝ)
9088, 89eqeltrd 2850 . . 3 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) ∈ ℝ)
9139, 49readdcld 10271 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ)
9291rexrd 10291 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ*)
9339, 49, 40, 50addge0d 10805 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
94 elxrge0 12488 . . . . . . . 8 (((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
9592, 93, 94sylanbrc 572 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ (0[,]+∞))
9695, 30ifclda 4259 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) ∈ (0[,]+∞))
9796adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) ∈ (0[,]+∞))
98 eqid 2771 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
9997, 98fmptd 6527 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
100 ax-icn 10197 . . . . . . . . . . . 12 i ∈ ℂ
101 mulcl 10222 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
102100, 48, 101sylancr 575 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
10338, 102abstrid 14403 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))) ≤ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(i · (ℑ‘𝐵)))))
1045replimd 14145 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
105104fveq2d 6336 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) = (abs‘((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
106 absmul 14242 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (abs‘(i · (ℑ‘𝐵))) = ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝐵))))
107100, 48, 106sylancr 575 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(i · (ℑ‘𝐵))) = ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝐵))))
108 absi 14234 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘i) = 1
109108oveq1i 6803 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝐵))) = (1 · (abs‘(ℑ‘𝐵)))
11049recnd 10270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
111110mulid2d 10260 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 · (abs‘(ℑ‘𝐵))) = (abs‘(ℑ‘𝐵)))
112109, 111syl5eq 2817 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝐵))) = (abs‘(ℑ‘𝐵)))
113107, 112eqtr2d 2806 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) = (abs‘(i · (ℑ‘𝐵))))
114113oveq2d 6809 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) = ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(i · (ℑ‘𝐵)))))
115103, 105, 1143brtr4d 4818 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
116 iftrue 4231 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) = (abs‘𝐵))
117116adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) = (abs‘𝐵))
11861adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) = ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
119115, 117, 1183brtr4d 4818 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
120119ex 397 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))
121 0le0 11312 . . . . . . . . 9 0 ≤ 0
122121a1i 11 . . . . . . . 8 𝑥𝐴 → 0 ≤ 0)
123 iffalse 4234 . . . . . . . 8 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) = 0)
124122, 123, 673brtr4d 4818 . . . . . . 7 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
125120, 124pm2.61d1 172 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
126125ralrimivw 3116 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
127 eqidd 2772 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)))
128 eqidd 2772 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))
12936, 32, 97, 127, 128ofrfval2 7062 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))
130126, 129mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))
131 itg2le 23726 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))))
13234, 99, 130, 131syl3anc 1476 . . 3 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))))
133 itg2lecl 23725 . . 3 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
13434, 90, 132, 133syl3anc 1476 . 2 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
13524, 26iblpos 23779 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
13623, 134, 135mpbir2and 692 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  Vcvv 3351  wss 3723  ifcif 4225   class class class wbr 4786  cmpt 4863  ccom 5253  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  𝑓 cof 7042  𝑟 cofr 7043  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139  ici 10140   + caddc 10141   · cmul 10143  +∞cpnf 10273  *cxr 10275  cle 10277  [,)cico 12382  [,]cicc 12383  cre 14045  cim 14046  abscabs 14182  cnccncf 22899  MblFncmbf 23602  2citg2 23604  𝐿1cibl 23605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cc 9459  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-ofr 7045  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-cmp 21411  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-ovol 23452  df-vol 23453  df-mbf 23607  df-itg1 23608  df-itg2 23609  df-ibl 23610  df-0p 23657
This theorem is referenced by:  iblmulc2  23817  itgabs  23821  bddmulibl  23825  itgcn  23829  ftc1a  24020  ftc1lem4  24022  itgulm  24382  fourierdlem47  40887  fourierdlem87  40927  etransclem23  40991
  Copyright terms: Public domain W3C validator