MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ibl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ibl0 23752
Description: The zero function is integrable on any measurable set. (Unlike iblconst 23783, this does not require 𝐴 to have finite measure.) (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
ibl0 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 × {0}) ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem ibl0
Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 10224 . . 3 0 ∈ ℂ
2 mbfconst 23601 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
31, 2mpan2 709 . 2 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
4 elfzelz 12535 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
54ad2antlr 765 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
6 ax-icn 10187 . . . . . . . . 9 i ∈ ℂ
7 ine0 10657 . . . . . . . . 9 i ≠ 0
8 expclz 13079 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
9 expne0i 13086 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
108, 9div0d 10992 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
116, 7, 10mp3an12 1563 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
125, 11syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
1312fveq2d 6356 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘0))
14 re0 14091 . . . . . 6 (ℜ‘0) = 0
1513, 14syl6eq 2810 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = 0)
1615itgvallem3 23751 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) = 0)
17 0re 10232 . . . 4 0 ∈ ℝ
1816, 17syl6eqel 2847 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
1918ralrimiva 3104 . 2 (𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
20 eqidd 2761 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))
21 eqidd 2761 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))))
22 c0ex 10226 . . . . 5 0 ∈ V
2322fconst 6252 . . . 4 (𝐴 × {0}):𝐴⟶{0}
24 fdm 6212 . . . 4 ((𝐴 × {0}):𝐴⟶{0} → dom (𝐴 × {0}) = 𝐴)
2523, 24mp1i 13 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol → dom (𝐴 × {0}) = 𝐴)
2622fvconst2 6633 . . . 4 (𝑥𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
2726adantl 473 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
2820, 21, 25, 27isibl 23731 . 2 (𝐴 ∈ dom vol → ((𝐴 × {0}) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝐴 × {0}) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
293, 19, 28mpbir2and 995 1 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 × {0}) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  ifcif 4230  {csn 4321   class class class wbr 4804  cmpt 4881   × cxp 5264  dom cdm 5266  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  ici 10130  cle 10267   / cdiv 10876  3c3 11263  cz 11569  ...cfz 12519  cexp 13054  cre 14036  volcvol 23432  MblFncmbf 23582  2citg2 23584  𝐿1cibl 23585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xadd 12140  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-xmet 19941  df-met 19942  df-ovol 23433  df-vol 23434  df-mbf 23587  df-itg1 23588  df-itg2 23589  df-ibl 23590  df-0p 23636
This theorem is referenced by:  itgge0  23776  itgfsum  23792  bddiblnc  33793
  Copyright terms: Public domain W3C validator