Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fres 23692
 Description: The "restriction" of a simple function to a measurable subset is simple. (It's not actually a restriction because it is zero instead of undefined outside 𝐴.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1fres.1 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0))
Assertion
Ref Expression
i1fres ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺 ∈ dom ∫1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem i1fres
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 23663 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
21adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3 ffn 6207 . . . . . . 7 (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
42, 3syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 Fn ℝ)
5 fnfvelrn 6521 . . . . . 6 ((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ran 𝐹)
64, 5sylan 489 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ran 𝐹)
7 i1f0rn 23669 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0 ∈ ran 𝐹)
87ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ran 𝐹)
96, 8ifcld 4276 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0) ∈ ran 𝐹)
10 i1fres.1 . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0))
119, 10fmptd 6550 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺:ℝ⟶ran 𝐹)
12 frn 6215 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
132, 12syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
1411, 13fssd 6219 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
15 i1frn 23664 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
1615adantr 472 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐹 ∈ Fin)
17 frn 6215 . . . 4 (𝐺:ℝ⟶ran 𝐹 → ran 𝐺 ⊆ ran 𝐹)
1811, 17syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐺 ⊆ ran 𝐹)
19 ssfi 8348 . . 3 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐺 ⊆ ran 𝐹) → ran 𝐺 ∈ Fin)
2016, 18, 19syl2anc 696 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐺 ∈ Fin)
21 eleq1w 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝐴𝑧𝐴))
22 fveq2 6354 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
2321, 22ifbieq1d 4254 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0) = if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0))
24 fvex 6364 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹𝑧) ∈ V
25 c0ex 10247 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
2624, 25ifex 4301 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0) ∈ V
2723, 10, 26fvmpt 6446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℝ → (𝐺𝑧) = if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0))
2827adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺𝑧) = if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0))
2928eqeq1d 2763 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑧) = 𝑦 ↔ if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0) = 𝑦))
30 eldifsni 4467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
3130ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ≠ 0)
3231necomd 2988 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 0 ≠ 𝑦)
33 iffalse 4240 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧𝐴 → if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0) = 0)
3433neeq1d 2992 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧𝐴 → (if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0) ≠ 𝑦 ↔ 0 ≠ 𝑦))
3532, 34syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (¬ 𝑧𝐴 → if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0) ≠ 𝑦))
3635necon4bd 2953 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0) = 𝑦𝑧𝐴))
3736pm4.71rd 670 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0) = 𝑦 ↔ (𝑧𝐴 ∧ if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0) = 𝑦)))
3829, 37bitrd 268 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧𝐴 ∧ if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0) = 𝑦)))
39 iftrue 4237 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐴 → if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0) = (𝐹𝑧))
4039eqeq1d 2763 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐴 → (if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0) = 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) = 𝑦))
4140pm5.32i 672 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴 ∧ if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0) = 𝑦) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) = 𝑦))
4238, 41syl6bb 276 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) = 𝑦)))
4342pm5.32da 676 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) = 𝑦))))
44 an12 873 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) = 𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) = 𝑦)))
4543, 44syl6bb 276 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) = 𝑦))))
46 ffn 6207 . . . . . . . . 9 (𝐺:ℝ⟶ran 𝐹𝐺 Fn ℝ)
4711, 46syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺 Fn ℝ)
4847adantr 472 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → 𝐺 Fn ℝ)
49 fniniseg 6503 . . . . . . 7 (𝐺 Fn ℝ → (𝑧 ∈ (𝐺 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦)))
5048, 49syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (𝐺 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦)))
514adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → 𝐹 Fn ℝ)
52 fniniseg 6503 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn ℝ → (𝑧 ∈ (𝐹 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) = 𝑦)))
5351, 52syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (𝐹 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) = 𝑦)))
5453anbi2d 742 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → ((𝑧𝐴𝑧 ∈ (𝐹 “ {𝑦})) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) = 𝑦))))
5545, 50, 543bitr4d 300 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (𝐺 “ {𝑦}) ↔ (𝑧𝐴𝑧 ∈ (𝐹 “ {𝑦}))))
56 elin 3940 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦})) ↔ (𝑧𝐴𝑧 ∈ (𝐹 “ {𝑦})))
5755, 56syl6bbr 278 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (𝐺 “ {𝑦}) ↔ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦}))))
5857eqrdv 2759 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝐺 “ {𝑦}) = (𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦})))
59 simplr 809 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → 𝐴 ∈ dom vol)
60 i1fima 23665 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
6160ad2antrr 764 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
62 inmbl 23531 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
6359, 61, 62syl2anc 696 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
6458, 63eqeltrd 2840 . 2 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝐺 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
6558fveq2d 6358 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(𝐺 “ {𝑦})) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦}))))
66 mblvol 23519 . . . . 5 ((𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦})) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦}))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦}))))
6763, 66syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦}))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦}))))
6865, 67eqtrd 2795 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(𝐺 “ {𝑦})) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦}))))
69 inss2 3978 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦})) ⊆ (𝐹 “ {𝑦})
7069a1i 11 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦})) ⊆ (𝐹 “ {𝑦}))
71 mblss 23520 . . . . 5 ((𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol → (𝐹 “ {𝑦}) ⊆ ℝ)
7261, 71syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝐹 “ {𝑦}) ⊆ ℝ)
73 mblvol 23519 . . . . . 6 ((𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹 “ {𝑦})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑦})))
7461, 73syl 17 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑦})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑦})))
75 i1fima2sn 23667 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
7675adantlr 753 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
7774, 76eqeltrrd 2841 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol*‘(𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
78 ovolsscl 23475 . . . 4 (((𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦})) ⊆ (𝐹 “ {𝑦}) ∧ (𝐹 “ {𝑦}) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦}))) ∈ ℝ)
7970, 72, 77, 78syl3anc 1477 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦}))) ∈ ℝ)
8068, 79eqeltrd 2840 . 2 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(𝐺 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
8114, 20, 64, 80i1fd 23668 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺 ∈ dom ∫1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3713   ∩ cin 3715   ⊆ wss 3716  ifcif 4231  {csn 4322   ↦ cmpt 4882  ◡ccnv 5266  dom cdm 5267  ran crn 5268   “ cima 5270   Fn wfn 6045  ⟶wf 6046  ‘cfv 6050  Fincfn 8124  ℝcr 10148  0cc0 10149  vol*covol 23452  volcvol 23453  ∫1citg1 23604 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fi 8485  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-cda 9203  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-q 12003  df-rp 12047  df-xneg 12160  df-xadd 12161  df-xmul 12162  df-ioo 12393  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-seq 13017  df-exp 13076  df-hash 13333  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-clim 14439  df-sum 14637  df-rest 16306  df-topgen 16327  df-psmet 19961  df-xmet 19962  df-met 19963  df-bl 19964  df-mopn 19965  df-top 20922  df-topon 20939  df-bases 20973  df-cmp 21413  df-ovol 23454  df-vol 23455  df-mbf 23608  df-itg1 23609 This theorem is referenced by:  i1fpos  23693  itg1climres  23701  itg2uba  23730  itg2splitlem  23735  itg2monolem1  23737  ftc1anclem5  33821  ftc1anclem7  33823
 Copyright terms: Public domain W3C validator