Theorem i1fposd 23455

Description: Deduction form of i1fposd 23455. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1fposd.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) ∈ dom ∫1)

Assertion

Ref	Expression
i1fposd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) ∈ dom ∫1)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem i1fposd

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2762	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥0
2		nfcv 2762	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
3		nffvmpt1 6186	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦)
4	1, 2, 3	nfbr 4690	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦)
5	4, 3, 1	nfif 4106	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)
6		nfcv 2762	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), 0)
7		fveq2 6178	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥))
8	7	breq2d 4656	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦) ↔ 0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥)))
9	8, 7	ifbieq1d 4100	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0) = if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), 0))
10	5, 6, 9	cbvmpt 4740	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), 0))
11		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
12		i1fposd.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) ∈ dom ∫1)
13		i1ff 23424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴):ℝ⟶ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴):ℝ⟶ℝ)
15		eqid 2620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)
16	15	fmpt 6367	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴):ℝ⟶ℝ)
17	14, 16	sylibr 224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	r19.21bi 2929	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
19	15	fvmpt2 6278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
20	11, 18, 19	syl2anc 692	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
21	20	breq2d 4656	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥) ↔ 0 ≤ 𝐴))
22	21, 20	ifbieq1d 4100	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), 0) = if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0))
23	22	mpteq2dva 4735	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
24	10, 23	syl5eq 2666	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
25		eqid 2620	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0))
26	25	i1fpos 23454	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) ∈ dom ∫1 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)) ∈ dom ∫1)
27	12, 26	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), ((𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)‘𝑦), 0)) ∈ dom ∫1)
28	24, 27	eqeltrrd 2700	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) ∈ dom ∫1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  ∀wral 2909  ifcif 4077   class class class wbr 4644   ↦ cmpt 4720  dom cdm 5104  ⟶wf 5872  ‘cfv 5876  ℝcr 9920  0cc0 9921   ≤ cle 10060  ∫₁citg1 23365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-sum 14398  df-rest 16064  df-topgen 16085  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-top 20680  df-topon 20697  df-bases 20731  df-cmp 21171  df-ovol 23214  df-vol 23215  df-mbf 23369  df-itg1 23370

This theorem is referenced by:  i1fibl  23555  itgitg1  23556