Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fmulc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fmulc 23689
 Description: A nonnegative constant times a simple function gives another simple function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fmulc.2 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
i1fmulc (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ dom ∫1)

Proof of Theorem i1fmulc
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 10239 . . . . 5 ℝ ∈ V
21a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0) → ℝ ∈ V)
3 i1fmulc.2 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
4 i1ff 23662 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
65adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7 i1fmulc.3 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
87adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 0red 10253 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0) → 0 ∈ ℝ)
10 simplr 809 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)
1110oveq1d 6829 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
12 mul02lem2 10425 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
1312adantl 473 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0)
1411, 13eqtrd 2794 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = 0)
152, 6, 8, 9, 14caofid2 7094 . . 3 ((𝜑𝐴 = 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) = (ℝ × {0}))
16 i1f0 23673 . . 3 (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
1715, 16syl6eqel 2847 . 2 ((𝜑𝐴 = 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ dom ∫1)
18 remulcl 10233 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
1918adantl 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
20 fconst6g 6255 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℝ)
217, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℝ)
221a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ V)
23 inidm 3965 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
2419, 21, 5, 22, 22, 23off 7078 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
2524adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
26 i1frn 23663 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
273, 26syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
28 ovex 6842 . . . . . . . 8 (𝐴 · 𝑦) ∈ V
29 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))
3028, 29fnmpti 6183 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) Fn ran 𝐹
31 dffn4 6283 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) Fn ran 𝐹 ↔ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)):ran 𝐹onto→ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)))
3230, 31mpbi 220 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)):ran 𝐹onto→ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))
33 fofi 8419 . . . . . 6 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)):ran 𝐹onto→ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))) → ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ Fin)
3427, 32, 33sylancl 697 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ Fin)
35 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹)
36 elsni 4338 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
3736oveq1d 6829 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝐴} → (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑤))
38 oveq2 6822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑤 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑤))
3938eqeq2d 2770 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑤)))
4039rspcev 3449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ran 𝐹 ∧ (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
4135, 37, 40syl2anr 496 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
42 ovex 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 · 𝑤) ∈ V
43 eqeq1 2764 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑥 · 𝑤) → (𝑧 = (𝐴 · 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦)))
4443rexbidv 3190 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑥 · 𝑤) → (∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦)))
4542, 44elab 3490 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 · 𝑤) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)} ↔ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
4641, 45sylibr 224 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐹) → (𝑥 · 𝑤) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
4746adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐹)) → (𝑥 · 𝑤) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
48 fconstg 6253 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
497, 48syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
50 ffn 6206 . . . . . . . . . 10 (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
515, 50syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
52 dffn3 6215 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn ℝ ↔ 𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
5351, 52sylib 208 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
5447, 49, 53, 22, 22, 23off 7078 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶{𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
55 frn 6214 . . . . . . 7 (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶{𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)} → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ⊆ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
5654, 55syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ⊆ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
5729rnmpt 5526 . . . . . 6 ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)}
5856, 57syl6sseqr 3793 . . . . 5 (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ⊆ ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)))
59 ssfi 8347 . . . . 5 ((ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ Fin ∧ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ⊆ ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))) → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ Fin)
6034, 58, 59syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ Fin)
6160adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ Fin)
62 frn 6214 . . . . . . . . 9 (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶ℝ → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ⊆ ℝ)
6324, 62syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ⊆ ℝ)
6463ssdifssd 3891 . . . . . . 7 (𝜑 → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
6564adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
6665sselda 3744 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℝ)
673, 7i1fmulclem 23688 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑦}) = (𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}))
6866, 67syldan 488 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑦}) = (𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}))
69 i1fima 23664 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
703, 69syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
7170ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
7268, 71eqeltrd 2839 . . 3 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑦}) ∈ dom vol)
7368fveq2d 6357 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑦})) = (vol‘(𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)})))
743ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
757ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℝ)
76 simplr 809 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ≠ 0)
7766, 75, 76redivcld 11065 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑦 / 𝐴) ∈ ℝ)
7866recnd 10280 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
7975recnd 10280 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
80 eldifsni 4466 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
8180adantl 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
8278, 79, 81, 76divne0d 11029 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑦 / 𝐴) ≠ 0)
83 eldifsn 4462 . . . . . 6 ((𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((𝑦 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐴) ≠ 0))
8477, 82, 83sylanbrc 701 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}))
85 i1fima2sn 23666 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
8674, 84, 85syl2anc 696 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
8773, 86eqeltrd 2839 . . 3 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑦})) ∈ ℝ)
8825, 61, 72, 87i1fd 23667 . 2 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ dom ∫1)
8917, 88pm2.61dane 3019 1 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ dom ∫1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  {cab 2746   ≠ wne 2932  ∃wrex 3051  Vcvv 3340   ∖ cdif 3712   ⊆ wss 3715  {csn 4321   ↦ cmpt 4881   × cxp 5264  ◡ccnv 5265  dom cdm 5266  ran crn 5267   “ cima 5269   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  –onto→wfo 6047  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ∘𝑓 cof 7061  Fincfn 8123  ℝcr 10147  0cc0 10148   · cmul 10153   / cdiv 10896  volcvol 23452  ∫1citg1 23603 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xadd 12160  df-ioo 12392  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636  df-xmet 19961  df-met 19962  df-ovol 23453  df-vol 23454  df-mbf 23607  df-itg1 23608 This theorem is referenced by:  itg1mulc  23690  i1fsub  23694  itg1sub  23695  itg2const  23726  itg2mulclem  23732  itg2monolem1  23736  i1fibl  23793  itgitg1  23794  itg2addnclem  33792  ftc1anclem5  33820
 Copyright terms: Public domain W3C validator