Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fima2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fima2 23666
 Description: Any preimage of a simple function not containing zero has finite measure. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1fima2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)

Proof of Theorem i1fima2
StepHypRef Expression
1 i1fima 23665 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹𝐴) ∈ dom vol)
21adantr 466 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹𝐴) ∈ dom vol)
3 mblvol 23518 . . 3 ((𝐹𝐴) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹𝐴)) = (vol*‘(𝐹𝐴)))
42, 3syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(𝐹𝐴)) = (vol*‘(𝐹𝐴)))
5 i1ff 23663 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
65adantr 466 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7 ffun 6188 . . . . . 6 (𝐹:ℝ⟶ℝ → Fun 𝐹)
8 inpreima 6485 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((𝐹𝐴) ∩ (𝐹 “ ran 𝐹)))
96, 7, 83syl 18 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((𝐹𝐴) ∩ (𝐹 “ ran 𝐹)))
10 cnvimass 5626 . . . . . . 7 (𝐹𝐴) ⊆ dom 𝐹
11 cnvimarndm 5627 . . . . . . 7 (𝐹 “ ran 𝐹) = dom 𝐹
1210, 11sseqtr4i 3787 . . . . . 6 (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹 “ ran 𝐹)
13 df-ss 3737 . . . . . 6 ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹 “ ran 𝐹) ↔ ((𝐹𝐴) ∩ (𝐹 “ ran 𝐹)) = (𝐹𝐴))
1412, 13mpbi 220 . . . . 5 ((𝐹𝐴) ∩ (𝐹 “ ran 𝐹)) = (𝐹𝐴)
159, 14syl6req 2822 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹𝐴) = (𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)))
16 inss1 3981 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ 𝐴
1716sseli 3748 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹) → 0 ∈ 𝐴)
1817con3i 151 . . . . . . . 8 (¬ 0 ∈ 𝐴 → ¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
1918adantl 467 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → ¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
20 disjsn 4383 . . . . . . 7 (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅ ↔ ¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
2119, 20sylibr 224 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅)
22 inss2 3982 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ran 𝐹
23 frn 6193 . . . . . . . . . 10 (𝐹:ℝ⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
245, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
2522, 24syl5ss 3763 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ)
2625adantr 466 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ)
27 reldisj 4163 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ → (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅ ↔ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0})))
2826, 27syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅ ↔ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0})))
2921, 28mpbid 222 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0}))
30 imass2 5642 . . . . 5 ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0}) → (𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) ⊆ (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})))
3129, 30syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) ⊆ (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})))
3215, 31eqsstrd 3788 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})))
33 i1fima 23665 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol)
3433adantr 466 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol)
35 mblss 23519 . . . 4 ((𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol → (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ⊆ ℝ)
3634, 35syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ⊆ ℝ)
37 mblvol 23518 . . . . 5 ((𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) = (vol*‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))))
3834, 37syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) = (vol*‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))))
39 isi1f 23661 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
4039simprbi 484 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
4140simp3d 1138 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
4241adantr 466 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
4338, 42eqeltrrd 2851 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol*‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
44 ovolsscl 23474 . . 3 (((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∧ (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
4532, 36, 43, 44syl3anc 1476 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol*‘(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
464, 45eqeltrd 2850 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3720   ∩ cin 3722   ⊆ wss 3723  ∅c0 4063  {csn 4316  ◡ccnv 5248  dom cdm 5249  ran crn 5250   “ cima 5252  Fun wfun 6025  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  Fincfn 8109  ℝcr 10137  0cc0 10138  vol*covol 23450  volcvol 23451  MblFncmbf 23602  ∫1citg1 23603 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xadd 12152  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-xmet 19954  df-met 19955  df-ovol 23452  df-vol 23453  df-mbf 23607  df-itg1 23608 This theorem is referenced by:  i1fima2sn  23667  i1f0rn  23669  itg2addnclem  33793  itg2addnclem2  33794  ftc1anclem3  33819
 Copyright terms: Public domain W3C validator