MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hypcgrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hypcgrlem1 25911
Description: Lemma for hypcgr 25913, case where triangles share a cathetus. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
hypcgr.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hypcgr.m = (dist‘𝐺)
hypcgr.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hypcgr.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hypcgr.h (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
hypcgr.a (𝜑𝐴𝑃)
hypcgr.b (𝜑𝐵𝑃)
hypcgr.c (𝜑𝐶𝑃)
hypcgr.d (𝜑𝐷𝑃)
hypcgr.e (𝜑𝐸𝑃)
hypcgr.f (𝜑𝐹𝑃)
hypcgr.1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
hypcgr.2 (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
hypcgr.3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
hypcgr.4 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))
hypcgrlem2.b (𝜑𝐵 = 𝐸)
hypcgrlem1.s 𝑆 = ((lInvG‘𝐺)‘((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵))
hypcgrlem1.a (𝜑𝐶 = 𝐹)
Assertion
Ref Expression
hypcgrlem1 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))

Proof of Theorem hypcgrlem1
StepHypRef Expression
1 hypcgr.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 hypcgr.m . . 3 = (dist‘𝐺)
3 hypcgr.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 hypcgr.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 hypcgr.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
76adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → 𝐶𝑃)
8 hypcgr.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
98adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → 𝐴𝑃)
10 hypcgr.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑃)
1110adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → 𝐹𝑃)
12 hypcgr.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
1312adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → 𝐷𝑃)
14 eqid 2770 . . . . . . 7 (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
15 eqid 2770 . . . . . . 7 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
16 hypcgr.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑃)
17 hypcgr.1 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
181, 2, 3, 14, 15, 4, 8, 16, 6, 17ragcom 25813 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
191, 2, 3, 14, 15, 4, 6, 16, 8israg 25812 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐶 𝐴) = (𝐶 (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐴))))
2018, 19mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐶 (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐴)))
2120adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → (𝐶 𝐴) = (𝐶 (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐴)))
22 hypcgrlem1.a . . . . . . 7 (𝜑𝐶 = 𝐹)
2322eqcomd 2776 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = 𝐶)
2423adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → 𝐹 = 𝐶)
25 hypcgr.h . . . . . . 7 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
261, 2, 3, 4, 25, 8, 12, 15, 16ismidb 25890 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 = (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵))
2726biimpar 463 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → 𝐷 = (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐴))
2824, 27oveq12d 6810 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → (𝐹 𝐷) = (𝐶 (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐴)))
2921, 28eqtr4d 2807 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))
301, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 29tgcgrcomlr 25595 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
31 simpr 471 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝐷) → 𝐴 = 𝐷)
3222ad2antrr 697 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝐷) → 𝐶 = 𝐹)
3331, 32oveq12d 6810 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝐷) → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
3417ad2antrr 697 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
354ad2antrr 697 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
368ad2antrr 697 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐴𝑃)
3716ad2antrr 697 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐵𝑃)
386ad2antrr 697 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐶𝑃)
391, 2, 3, 14, 15, 35, 36, 37, 38israg 25812 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐴 (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶))))
4034, 39mpbid 222 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴 𝐶) = (𝐴 (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶)))
4125ad2antrr 697 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐺DimTarskiG≥2)
42 hypcgrlem1.s . . . . . . 7 𝑆 = ((lInvG‘𝐺)‘((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵))
4312ad2antrr 697 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐷𝑃)
441, 2, 3, 35, 41, 36, 43midcl 25889 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ∈ 𝑃)
45 simplr 744 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵)
461, 3, 14, 35, 44, 37, 45tgelrnln 25745 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵) ∈ ran (LineG‘𝐺))
47 eqid 2770 . . . . . . 7 ((pInvG‘𝐺)‘𝐵) = ((pInvG‘𝐺)‘𝐵)
48 eqid 2770 . . . . . . . . 9 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
491, 2, 3, 14, 15, 35, 37, 47, 38mircl 25776 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶) ∈ 𝑃)
50 simpr 471 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐴𝐷)
511, 2, 3, 35, 41, 36, 43midbtwn 25891 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ∈ (𝐴𝐼𝐷))
521, 14, 3, 35, 36, 44, 43, 51btwncolg3 25672 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐷 ∈ (𝐴(LineG‘𝐺)(𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) ∨ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)))
53 eqidd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 = 𝐷)
54 hypcgrlem2.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 = 𝐸)
5553, 54, 22s3eqd 13817 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ⟨“𝐷𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
5655ad2antrr 697 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ⟨“𝐷𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
57 hypcgr.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
5857ad2antrr 697 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
5956, 58eqeltrd 2849 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ⟨“𝐷𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
601, 2, 3, 14, 15, 35, 43, 37, 38israg 25812 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (⟨“𝐷𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐷 𝐶) = (𝐷 (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶))))
6159, 60mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐷 𝐶) = (𝐷 (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶)))
621, 14, 3, 35, 36, 43, 44, 48, 38, 49, 2, 50, 52, 40, 61lncgr 25684 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷) 𝐶) = ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷) (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶)))
631, 2, 3, 14, 15, 35, 44, 37, 38israg 25812 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (⟨“(𝐴(midG‘𝐺)𝐷)𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷) 𝐶) = ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷) (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶))))
6462, 63mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ⟨“(𝐴(midG‘𝐺)𝐷)𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
651, 3, 14, 35, 44, 37, 45tglinerflx1 25748 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ∈ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵))
661, 3, 14, 35, 44, 37, 45tglinerflx2 25749 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐵 ∈ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵))
671, 2, 3, 35, 41, 42, 14, 46, 44, 47, 64, 65, 66, 38, 45lmimid 25906 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝑆𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶))
6867oveq2d 6808 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴 (𝑆𝐶)) = (𝐴 (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶)))
6940, 68eqtr4d 2807 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴 𝐶) = (𝐴 (𝑆𝐶)))
701, 2, 3, 35, 41, 43, 36midcom 25894 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐷(midG‘𝐺)𝐴) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷))
7170, 65eqeltrd 2849 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐷(midG‘𝐺)𝐴) ∈ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵))
7250necomd 2997 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐷𝐴)
731, 3, 14, 35, 43, 36, 72tgelrnln 25745 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐷(LineG‘𝐺)𝐴) ∈ ran (LineG‘𝐺))
741, 2, 3, 35, 36, 44, 43, 51tgbtwncom 25603 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ∈ (𝐷𝐼𝐴))
751, 3, 14, 35, 43, 36, 44, 72, 74btwnlng1 25734 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ∈ (𝐷(LineG‘𝐺)𝐴))
7665, 75elind 3947 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ∈ (((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵) ∩ (𝐷(LineG‘𝐺)𝐴)))
771, 3, 14, 35, 43, 36, 72tglinerflx2 25749 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐷(LineG‘𝐺)𝐴))
7845necomd 2997 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐵 ≠ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷))
794ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
808ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) → 𝐴𝑃)
8112ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) → 𝐷𝑃)
8225ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
83 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) → 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷))
8483eqcomd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐴)
851, 2, 3, 79, 82, 80, 81, 84midcgr 25892 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) → (𝐴 𝐴) = (𝐴 𝐷))
8685eqcomd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) → (𝐴 𝐷) = (𝐴 𝐴))
871, 2, 3, 79, 80, 81, 80, 86axtgcgrid 25582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) → 𝐴 = 𝐷)
8887ex 397 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) → (𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) → 𝐴 = 𝐷))
8988necon3d 2963 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) → (𝐴𝐷𝐴 ≠ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)))
9089imp 393 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐴 ≠ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷))
91 hypcgr.e . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸𝑃)
92 hypcgr.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
931, 2, 3, 4, 8, 16, 12, 91, 92tgcgrcomlr 25595 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 𝐴) = (𝐸 𝐷))
9454oveq1d 6807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 𝐷) = (𝐸 𝐷))
9593, 94eqtr4d 2807 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 𝐴) = (𝐵 𝐷))
9695ad2antrr 697 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐵 𝐴) = (𝐵 𝐷))
97 eqidd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷))
981, 2, 3, 35, 41, 36, 43, 15, 44ismidb 25890 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐷 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐷))‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)))
9997, 98mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐷 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐷))‘𝐴))
10099oveq2d 6808 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐵 𝐷) = (𝐵 (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐷))‘𝐴)))
10196, 100eqtrd 2804 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐵 𝐴) = (𝐵 (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐷))‘𝐴)))
1021, 2, 3, 14, 15, 35, 37, 44, 36israg 25812 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (⟨“𝐵(𝐴(midG‘𝐺)𝐷)𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐵 𝐴) = (𝐵 (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐷))‘𝐴))))
103101, 102mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ⟨“𝐵(𝐴(midG‘𝐺)𝐷)𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1041, 2, 3, 14, 35, 46, 73, 76, 66, 77, 78, 90, 103ragperp 25832 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐷(LineG‘𝐺)𝐴))
105104orcd 853 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐷(LineG‘𝐺)𝐴) ∨ 𝐷 = 𝐴))
1061, 2, 3, 35, 41, 42, 14, 46, 43, 36islmib 25899 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴 = (𝑆𝐷) ↔ ((𝐷(midG‘𝐺)𝐴) ∈ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵) ∧ (((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐷(LineG‘𝐺)𝐴) ∨ 𝐷 = 𝐴))))
10771, 105, 106mpbir2and 684 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐴 = (𝑆𝐷))
108107oveq1d 6807 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴 (𝑆𝐶)) = ((𝑆𝐷) (𝑆𝐶)))
1091, 2, 3, 35, 41, 42, 14, 46, 43, 38lmiiso 25909 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ((𝑆𝐷) (𝑆𝐶)) = (𝐷 𝐶))
11022oveq2d 6808 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 𝐶) = (𝐷 𝐹))
111110ad2antrr 697 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐷 𝐶) = (𝐷 𝐹))
112108, 109, 1113eqtrd 2808 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴 (𝑆𝐶)) = (𝐷 𝐹))
11369, 112eqtrd 2804 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
11433, 113pm2.61dane 3029 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
11530, 114pm2.61dane 3029 1 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wo 826   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  2c2 11271  ⟨“cs3 13795  Basecbs 16063  distcds 16157  TarskiGcstrkg 25549  DimTarskiGcstrkgld 25553  Itvcitv 25555  LineGclng 25556  cgrGccgrg 25625  pInvGcmir 25767  ∟Gcrag 25808  ⟂Gcperpg 25810  midGcmid 25884  lInvGclmi 25885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13321  df-word 13494  df-concat 13496  df-s1 13497  df-s2 13801  df-s3 13802  df-trkgc 25567  df-trkgb 25568  df-trkgcb 25569  df-trkgld 25571  df-trkg 25572  df-cgrg 25626  df-leg 25698  df-mir 25768  df-rag 25809  df-perpg 25811  df-mid 25886  df-lmi 25887
This theorem is referenced by:  hypcgrlem2  25912
  Copyright terms: Public domain W3C validator