HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubdistr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubdistr2 28237
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubdistr2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem hvsubdistr2
StepHypRef Expression
1 hvmulcl 28200 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ)
213adant2 1126 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ)
3 hvmulcl 28200 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℋ)
433adant1 1125 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℋ)
5 hvsubval 28203 . . 3 (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) + (-1 · (𝐵 · 𝐶))))
62, 4, 5syl2anc 696 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) + (-1 · (𝐵 · 𝐶))))
7 mulm1 10683 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
87oveq1d 6829 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → ((-1 · 𝐵) · 𝐶) = (-𝐵 · 𝐶))
98adantr 472 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) · 𝐶) = (-𝐵 · 𝐶))
10 neg1cn 11336 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
11 ax-hvmulass 28194 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) · 𝐶) = (-1 · (𝐵 · 𝐶)))
1210, 11mp3an1 1560 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) · 𝐶) = (-1 · (𝐵 · 𝐶)))
139, 12eqtr3d 2796 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-𝐵 · 𝐶) = (-1 · (𝐵 · 𝐶)))
14133adant1 1125 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-𝐵 · 𝐶) = (-1 · (𝐵 · 𝐶)))
1514oveq2d 6830 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐶) + (-𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) + (-1 · (𝐵 · 𝐶))))
16 negcl 10493 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
17 ax-hvdistr2 28196 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + -𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (-𝐵 · 𝐶)))
1816, 17syl3an2 1168 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + -𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (-𝐵 · 𝐶)))
19 negsub 10541 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
20193adant3 1127 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
2120oveq1d 6829 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + -𝐵) · 𝐶) = ((𝐴𝐵) · 𝐶))
2218, 21eqtr3d 2796 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐶) + (-𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝐵) · 𝐶))
236, 15, 223eqtr2rd 2801 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  (class class class)co 6814  cc 10146  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  cmin 10478  -cneg 10479  chil 28106   + cva 28107   · csm 28108   cmv 28112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-hfvmul 28192  ax-hvmulass 28194  ax-hvdistr2 28196
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-ltxr 10291  df-sub 10480  df-neg 10481  df-hvsub 28158
This theorem is referenced by:  hvmulcan2  28260
  Copyright terms: Public domain W3C validator