HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvnegdii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvnegdii 28253
Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hvnegdi.1 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
hvnegdii (-1 · (𝐴 𝐵)) = (𝐵 𝐴)

Proof of Theorem hvnegdii
StepHypRef Expression
1 hvnegdi.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
2 hvnegdi.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℋ
31, 2hvsubvali 28211 . . 3 (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵))
43oveq2i 6803 . 2 (-1 · (𝐴 𝐵)) = (-1 · (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
5 neg1cn 11325 . . 3 -1 ∈ ℂ
65, 2hvmulcli 28205 . . 3 (-1 · 𝐵) ∈ ℋ
75, 1, 6hvdistr1i 28242 . 2 (-1 · (𝐴 + (-1 · 𝐵))) = ((-1 · 𝐴) + (-1 · (-1 · 𝐵)))
8 neg1mulneg1e1 11446 . . . . . 6 (-1 · -1) = 1
98oveq1i 6802 . . . . 5 ((-1 · -1) · 𝐵) = (1 · 𝐵)
105, 5, 2hvmulassi 28237 . . . . 5 ((-1 · -1) · 𝐵) = (-1 · (-1 · 𝐵))
11 ax-hvmulid 28197 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℋ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
122, 11ax-mp 5 . . . . 5 (1 · 𝐵) = 𝐵
139, 10, 123eqtr3i 2800 . . . 4 (-1 · (-1 · 𝐵)) = 𝐵
1413oveq1i 6802 . . 3 ((-1 · (-1 · 𝐵)) + (-1 · 𝐴)) = (𝐵 + (-1 · 𝐴))
155, 1hvmulcli 28205 . . . 4 (-1 · 𝐴) ∈ ℋ
165, 6hvmulcli 28205 . . . 4 (-1 · (-1 · 𝐵)) ∈ ℋ
1715, 16hvcomi 28210 . . 3 ((-1 · 𝐴) + (-1 · (-1 · 𝐵))) = ((-1 · (-1 · 𝐵)) + (-1 · 𝐴))
182, 1hvsubvali 28211 . . 3 (𝐵 𝐴) = (𝐵 + (-1 · 𝐴))
1914, 17, 183eqtr4i 2802 . 2 ((-1 · 𝐴) + (-1 · (-1 · 𝐵))) = (𝐵 𝐴)
204, 7, 193eqtri 2796 1 (-1 · (𝐴 𝐵)) = (𝐵 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1630  wcel 2144  (class class class)co 6792  1c1 10138   · cmul 10142  -cneg 10468  chil 28110   + cva 28111   · csm 28112   cmv 28116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-hvcom 28192  ax-hfvmul 28196  ax-hvmulid 28197  ax-hvmulass 28198  ax-hvdistr1 28199
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-ltxr 10280  df-sub 10469  df-neg 10470  df-hvsub 28162
This theorem is referenced by:  hvnegdi  28258  hisubcomi  28295  normsubi  28332  normpar2i  28347  pjsslem  28872  pjcji  28877
  Copyright terms: Public domain W3C validator