HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmulcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmulcan 28269
Description: Cancellation law for scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmulcan (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem hvmulcan
StepHypRef Expression
1 df-ne 2944 . . . . 5 (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2 biorf 922 . . . . 5 𝐴 = 0 → ((𝐵 𝐶) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 𝐶) = 0)))
31, 2sylbi 207 . . . 4 (𝐴 ≠ 0 → ((𝐵 𝐶) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 𝐶) = 0)))
43ad2antlr 706 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐵 𝐶) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 𝐶) = 0)))
543adant3 1126 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 𝐶) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 𝐶) = 0)))
6 hvsubeq0 28265 . . 3 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 𝐶) = 0𝐵 = 𝐶))
763adant1 1124 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 𝐶) = 0𝐵 = 𝐶))
8 hvsubdistr1 28246 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
98eqeq1d 2773 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝐵 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)) = 0))
10 hvsubcl 28214 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 𝐶) ∈ ℋ)
11 hvmul0or 28222 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝐵 𝐶)) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 𝐶) = 0)))
1210, 11sylan2 580 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → ((𝐴 · (𝐵 𝐶)) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 𝐶) = 0)))
13123impb 1107 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝐵 𝐶)) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 𝐶) = 0)))
14 hvmulcl 28210 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ)
15143adant3 1126 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ)
16 hvmulcl 28210 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ)
17163adant2 1125 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ)
18 hvsubeq0 28265 . . . . 5 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ) → (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐶)))
1915, 17, 18syl2anc 573 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐶)))
209, 13, 193bitr3d 298 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 = 0 ∨ (𝐵 𝐶) = 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐶)))
21203adant1r 1187 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 = 0 ∨ (𝐵 𝐶) = 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐶)))
225, 7, 213bitr3rd 299 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  (class class class)co 6793  cc 10136  0cc0 10138  chil 28116   · csm 28118  0c0v 28121   cmv 28122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-hfvadd 28197  ax-hvcom 28198  ax-hvass 28199  ax-hv0cl 28200  ax-hvaddid 28201  ax-hfvmul 28202  ax-hvmulid 28203  ax-hvmulass 28204  ax-hvdistr1 28205  ax-hvdistr2 28206  ax-hvmul0 28207
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-hvsub 28168
This theorem is referenced by:  hvsubcan  28271  hvsubcan2  28272
  Copyright terms: Public domain W3C validator