HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvadd4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvadd4 28233
Description: Hilbert vector space addition law. (Contributed by NM, 16-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvadd4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))

Proof of Theorem hvadd4
StepHypRef Expression
1 hvadd32 28231 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = ((𝐴 + 𝐶) + 𝐵))
21oveq1d 6808 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) = (((𝐴 + 𝐶) + 𝐵) + 𝐷))
323expa 1111 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) = (((𝐴 + 𝐶) + 𝐵) + 𝐷))
43adantrr 696 . 2 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) = (((𝐴 + 𝐶) + 𝐵) + 𝐷))
5 hvaddcl 28209 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)
6 ax-hvass 28199 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)))
763expb 1113 . . 3 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)))
85, 7sylan 569 . 2 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)))
9 hvaddcl 28209 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℋ)
10 ax-hvass 28199 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (((𝐴 + 𝐶) + 𝐵) + 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))
11103expb 1113 . . . 4 (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 + 𝐶) + 𝐵) + 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))
129, 11sylan 569 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 + 𝐶) + 𝐵) + 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))
1312an4s 639 . 2 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 + 𝐶) + 𝐵) + 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))
144, 8, 133eqtr3d 2813 1 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  (class class class)co 6793  chil 28116   + cva 28117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034  ax-hfvadd 28197  ax-hvcom 28198  ax-hvass 28199
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-fv 6039  df-ov 6796
This theorem is referenced by:  hvsub4  28234  hvadd4i  28255  shscli  28516  spanunsni  28778  mayete3i  28927  lnophsi  29200
  Copyright terms: Public domain W3C validator