HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hv2times Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hv2times 28227
Description: Two times a vector. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hv2times (𝐴 ∈ ℋ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem hv2times
StepHypRef Expression
1 df-2 11271 . . . 4 2 = (1 + 1)
21oveq1i 6823 . . 3 (2 · 𝐴) = ((1 + 1) · 𝐴)
3 ax-1cn 10186 . . . 4 1 ∈ ℂ
4 ax-hvdistr2 28175 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((1 + 1) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
53, 3, 4mp3an12 1563 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → ((1 + 1) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
62, 5syl5eq 2806 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (2 · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
7 ax-hvdistr1 28174 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (1 · (𝐴 + 𝐴)) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
83, 7mp3an1 1560 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (1 · (𝐴 + 𝐴)) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
98anidms 680 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (1 · (𝐴 + 𝐴)) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
10 hvaddcl 28178 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℋ)
1110anidms 680 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℋ)
12 ax-hvmulid 28172 . . 3 ((𝐴 + 𝐴) ∈ ℋ → (1 · (𝐴 + 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
1311, 12syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (1 · (𝐴 + 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
146, 9, 133eqtr2d 2800 1 (𝐴 ∈ ℋ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  (class class class)co 6813  cc 10126  1c1 10129   + caddc 10131  2c2 11262  chil 28085   + cva 28086   · csm 28087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055  ax-1cn 10186  ax-hfvadd 28166  ax-hvmulid 28172  ax-hvdistr1 28174  ax-hvdistr2 28175
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-ov 6816  df-2 11271
This theorem is referenced by:  hvsubcan2i  28230  mayete3i  28896
  Copyright terms: Public domain W3C validator