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Theorem htthlem 27902
 Description: Lemma for htth 27903. The collection 𝐾, which consists of functions 𝐹(𝑧)(𝑤) = ⟨𝑤 ∣ 𝑇(𝑧)⟩ = ⟨𝑇(𝑤) ∣ 𝑧⟩ for each 𝑧 in the unit ball, is a collection of bounded linear functions by ipblnfi 27839, so by the Uniform Boundedness theorem ubth 27857, there is a uniform bound 𝑦 on ∥ 𝐹(𝑥) ∥ for all 𝑥 in the unit ball. Then ∣ 𝑇(𝑥) ∣ ↑2 = ⟨𝑇(𝑥) ∣ 𝑇(𝑥)⟩ = 𝐹(𝑥)( 𝑇(𝑥)) ≤ 𝑦 ∣ 𝑇(𝑥) ∣, so ∣ 𝑇(𝑥) ∣ ≤ 𝑦 and 𝑇 is bounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
htth.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
htth.2 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
htth.3 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑈)
htth.4 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑈)
htthlem.5 𝑁 = (normCV𝑈)
htthlem.6 𝑈 ∈ CHilOLD
htthlem.7 𝑊 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
htthlem.8 (𝜑𝑇𝐿)
htthlem.9 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦))
htthlem.10 𝐹 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))))
htthlem.11 𝐾 = (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})
Assertion
Ref Expression
htthlem (𝜑𝑇𝐵)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑤,𝐹   𝑥,𝑤,𝑧,𝐾,𝑦   𝑤,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃,𝑧   𝑤,𝑊,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑇,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑈,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑧)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem htthlem
StepHypRef Expression
1 htthlem.8 . 2 (𝜑𝑇𝐿)
2 htthlem.6 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ CHilOLD
32hlnvi 27876 . . . . . . . . 9 𝑈 ∈ NrmCVec
4 htth.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5 htth.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑈)
64, 4, 5lnof 27738 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋𝑋)
73, 3, 6mp3an12 1454 . . . . . . . . . . 11 (𝑇𝐿𝑇:𝑋𝑋)
81, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇:𝑋𝑋)
98ffvelrnda 6399 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑇𝑥) ∈ 𝑋)
10 htthlem.5 . . . . . . . . . 10 𝑁 = (normCV𝑈)
114, 10nvcl 27644 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
123, 9, 11sylancr 696 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
138ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑇𝑧) ∈ 𝑋)
14 htth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
15 hlph 27873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ CHilOLD𝑈 ∈ CPreHilOLD)
162, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑈 ∈ CPreHilOLD
17 htthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑊 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
18 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 BLnOp 𝑊) = (𝑈 BLnOp 𝑊)
19 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧)))
204, 14, 16, 17, 18, 19ipblnfi 27839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇𝑧) ∈ 𝑋 → (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
2113, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
22 htthlem.10 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))))
2321, 22fmptd 6425 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:𝑋⟶(𝑈 BLnOp 𝑊))
24 ffun 6086 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑋⟶(𝑈 BLnOp 𝑊) → Fun 𝐹)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Fun 𝐹)
2625adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋) → Fun 𝐹)
27 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤𝐾𝑤𝐾)
28 htthlem.11 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})
2927, 28syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤𝐾𝑤 ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1}))
30 fvelima 6287 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝐹𝑤 ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})) → ∃𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} (𝐹𝑦) = 𝑤)
3126, 29, 30syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑤𝐾) → ∃𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} (𝐹𝑦) = 𝑤)
3231ex 449 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑤𝐾 → ∃𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} (𝐹𝑦) = 𝑤))
33 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑦 → (𝑁𝑧) = (𝑁𝑦))
3433breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑁𝑧) ≤ 1 ↔ (𝑁𝑦) ≤ 1))
3534elrab 3396 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} ↔ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1))
36 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑦 → (𝑇𝑧) = (𝑇𝑦))
3736oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = 𝑦 → (𝑤𝑃(𝑇𝑧)) = (𝑤𝑃(𝑇𝑦)))
3837mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑦 → (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦))))
394hlex 27882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑋 ∈ V
4039mptex 6527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦))) ∈ V
4138, 22, 40fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝑋 → (𝐹𝑦) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦))))
4241fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝑋 → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦)))‘𝑥))
43 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑃(𝑇𝑦)) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)))
44 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦))) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦)))
45 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) ∈ V
4643, 44, 45fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝑋 → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑦)))‘𝑥) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)))
4742, 46sylan9eqr 2707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)))
4847ad2ant2lr 799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)))
49 htthlem.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦))
50 rsp2 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦) → ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦)))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦)))
5251impl 649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦))
5352adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦))
5448, 53eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = ((𝑇𝑥)𝑃𝑦))
5554fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝐹𝑦)‘𝑥)) = (abs‘((𝑇𝑥)𝑃𝑦)))
56 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1) → 𝑦𝑋)
574, 14dipcl 27695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑋𝑦𝑋) → ((𝑇𝑥)𝑃𝑦) ∈ ℂ)
583, 57mp3an1 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇𝑥) ∈ 𝑋𝑦𝑋) → ((𝑇𝑥)𝑃𝑦) ∈ ℂ)
599, 56, 58syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑇𝑥)𝑃𝑦) ∈ ℂ)
6059abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝑇𝑥)𝑃𝑦)) ∈ ℝ)
6112adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
624, 10nvcl 27644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦𝑋) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
633, 62mpan 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑋 → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
6463ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
6561, 64remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
664, 10, 14, 16sii 27837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑇𝑥) ∈ 𝑋𝑦𝑋) → (abs‘((𝑇𝑥)𝑃𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)))
679, 56, 66syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝑇𝑥)𝑃𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)))
68 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → 1 ∈ ℝ)
694, 10nvge0 27656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
703, 9, 69sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
7112, 70jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
7271adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
73 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (𝑁𝑦) ≤ 1)
74 lemul2a 10916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁𝑦) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))) ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · 1))
7564, 68, 72, 73, 74syl31anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)) ≤ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · 1))
7661recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℂ)
7776mulid1d 10095 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · 1) = (𝑁‘(𝑇𝑥)))
7875, 77breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
7960, 65, 61, 67, 78letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝑇𝑥)𝑃𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
8055, 79eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑁𝑦) ≤ 1)) → (abs‘((𝐹𝑦)‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
8135, 80sylan2b 491 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1}) → (abs‘((𝐹𝑦)‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
82 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = (𝑤𝑥))
8382fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑦)‘𝑥)) = (abs‘(𝑤𝑥)))
8483breq1d 4695 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → ((abs‘((𝐹𝑦)‘𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ↔ (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
8581, 84syl5ibcom 235 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1}) → ((𝐹𝑦) = 𝑤 → (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
8685rexlimdva 3060 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (∃𝑦 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} (𝐹𝑦) = 𝑤 → (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
8732, 86syld 47 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑤𝐾 → (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
8887ralrimiv 2994 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
89 breq2 4689 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑁‘(𝑇𝑥)) → ((abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧 ↔ (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
9089ralbidv 3015 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑁‘(𝑇𝑥)) → (∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))))
9190rspcev 3340 . . . . . . . 8 (((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧)
9212, 88, 91syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧)
9392ralrimiva 2995 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧)
94 imassrn 5512 . . . . . . . . 9 (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1}) ⊆ ran 𝐹
9528, 94eqsstri 3668 . . . . . . . 8 𝐾 ⊆ ran 𝐹
96 frn 6091 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑋⟶(𝑈 BLnOp 𝑊) → ran 𝐹 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
9723, 96syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
9895, 97syl5ss 3647 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
99 hlobn 27872 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ CHilOLD𝑈 ∈ CBan)
1002, 99ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑈 ∈ CBan
10117cnnv 27660 . . . . . . . 8 𝑊 ∈ NrmCVec
10217cnnvnm 27664 . . . . . . . . 9 abs = (normCV𝑊)
103 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
1044, 102, 103ubth 27857 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐾 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → (∀𝑥𝑋𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦))
105100, 101, 104mp3an12 1454 . . . . . . 7 (𝐾 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (∀𝑥𝑋𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦))
10698, 105syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥𝑋𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 (abs‘(𝑤𝑥)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦))
10793, 106mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦)
108 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1))
109 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑥 → (𝑁𝑧) = (𝑁𝑥))
110109breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑁𝑧) ≤ 1 ↔ (𝑁𝑥) ≤ 1))
111110elrab 3396 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1))
112108, 111sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → 𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})
11322, 21dmmptd 6062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
114113eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥𝑋))
115114biimpar 501 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
116 funfvima 6532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})))
11725, 116sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})))
118115, 117syldan 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})))
119118ad2ant2r 798 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (𝑥 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1} → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1})))
120112, 119mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 “ {𝑧𝑋 ∣ (𝑁𝑧) ≤ 1}))
121120, 28syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
122 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = (𝐹𝑥) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) = ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)))
123122breq1d 4695 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝐹𝑥) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦))
124123rspcv 3336 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐾 → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦))
125121, 124syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦))
12612ad2ant2r 798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
127126, 126remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
12823ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
12917cnnvba 27662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℂ = (BaseSet‘𝑊)
1304, 129, 103, 18nmblore 27769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
1313, 101, 130mp3an12 1454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
132128, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
133132ad2ant2r 798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
134133, 126remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
135 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
136135, 126remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
137 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑥 → (𝑇𝑧) = (𝑇𝑥))
138137oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑥 → (𝑤𝑃(𝑇𝑧)) = (𝑤𝑃(𝑇𝑥)))
139138mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑥 → (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑧))) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥))))
14039mptex 6527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥))) ∈ V
141139, 22, 140fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥𝑋 → (𝐹𝑥) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥))))
142141adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥))))
143142fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥)))‘(𝑇𝑥)))
144 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = (𝑇𝑥) → (𝑤𝑃(𝑇𝑥)) = ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)))
145 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥))) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥)))
146 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)) ∈ V
147144, 145, 146fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑇𝑥) ∈ 𝑋 → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥)))‘(𝑇𝑥)) = ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)))
1489, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝑃(𝑇𝑥)))‘(𝑇𝑥)) = ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)))
149143, 148eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)))
150149ad2ant2r 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)))
1519ad2ant2r 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑇𝑥) ∈ 𝑋)
1524, 10, 14ipidsq 27693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑋) → ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)) = ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
1533, 151, 152sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑇𝑥)𝑃(𝑇𝑥)) = ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
154150, 153eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
155154fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥))) = (abs‘((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2)))
156 resqcl 12971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ → ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2) ∈ ℝ)
157 sqge0 12980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ → 0 ≤ ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
158156, 157absidd 14205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ → (abs‘((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2)) = ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
159126, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2)) = ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2))
160126recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℂ)
161160sqvald 13045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥))↑2) = ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
162155, 159, 1613eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥))) = ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
163128ad2ant2r 798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
1644, 10, 102, 103, 18, 3, 101nmblolbi 27783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥))) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
165163, 151, 164syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑥)‘(𝑇𝑥))) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
166162, 165eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
1673, 151, 69sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)))
168 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)
169133, 135, 126, 167, 168lemul1ad 11001 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
170127, 134, 136, 166, 169letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))))
171 lemul1 10913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)))) → ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥)))))
172171biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)))) → (((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
1731723expia 1286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘(𝑇𝑥))) → (((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
174173expdimp 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ) → (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) → (((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
175126, 135, 126, 174syl21anc 1365 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) → (((𝑁‘(𝑇𝑥)) · (𝑁‘(𝑇𝑥))) ≤ (𝑦 · (𝑁‘(𝑇𝑥))) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
176170, 175mpid 44 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
177 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ∈ ℝ)
1784, 129, 18blof 27768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → (𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ)
1793, 101, 178mp3an12 1454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑥) ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ)
180128, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ)
181180ad2ant2r 798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ)
1824, 129, 103nmooge0 27750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ) → 0 ≤ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)))
1833, 101, 182mp3an12 1454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑥):𝑋⟶ℂ → 0 ≤ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)))
184181, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ≤ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)))
185177, 133, 135, 184, 168letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → 0 ≤ 𝑦)
186 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = (𝑁‘(𝑇𝑥)) → (0 ≤ 𝑦 ↔ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
187185, 186syl5ibcom 235 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 = (𝑁‘(𝑇𝑥)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
188 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
189 leloe 10162 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ↔ (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∨ 0 = (𝑁‘(𝑇𝑥)))))
190188, 126, 189sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 ≤ (𝑁‘(𝑇𝑥)) ↔ (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∨ 0 = (𝑁‘(𝑇𝑥)))))
191167, 190mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (0 < (𝑁‘(𝑇𝑥)) ∨ 0 = (𝑁‘(𝑇𝑥))))
192176, 187, 191mpjaod 395 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)) → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)
193192expr 642 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
194193adantrr 753 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
195125, 194syld 47 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁𝑥) ≤ 1)) → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
196195expr 642 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
197196com23 86 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
198197ralrimdva 2998 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ∀𝑥𝑋 ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
199198reximdva 3046 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝐾 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑤) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
200107, 199mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦))
201 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑈 normOpOLD 𝑈) = (𝑈 normOpOLD 𝑈)
2024, 4, 10, 10, 201, 3, 3nmobndi 27758 . . . . 5 (𝑇:𝑋𝑋 → (((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
2038, 202syl 17 . . . 4 (𝜑 → (((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 ((𝑁𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝑦)))
204200, 203mpbird 247 . . 3 (𝜑 → ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ)
205 ltpnf 11992 . . 3 (((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) ∈ ℝ → ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞)
206204, 205syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞)
207 htth.4 . . . 4 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑈)
208201, 5, 207isblo 27765 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → (𝑇𝐵 ↔ (𝑇𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞)))
2093, 3, 208mp2an 708 . 2 (𝑇𝐵 ↔ (𝑇𝐿 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑈)‘𝑇) < +∞))
2101, 206, 209sylanbrc 699 1 (𝜑𝑇𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  {crab 2945   ⊆ wss 3607  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144   “ cima 5146  Fun wfun 5920  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109   < clt 10112   ≤ cle 10113  2c2 11108  ↑cexp 12900  abscabs 14018  NrmCVeccnv 27567  BaseSetcba 27569  normCVcnmcv 27573  ·𝑖OLDcdip 27683   LnOp clno 27723   normOpOLD cnmoo 27724   BLnOp cblo 27725  CPreHilOLDccphlo 27795  CBanccbn 27846  CHilOLDchlo 27869 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-dc 9306  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-lm 21081  df-t1 21166  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-fcls 21792  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-cfil 23099  df-cau 23100  df-cmet 23101  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583  df-ims 27584  df-dip 27684  df-lno 27727  df-nmoo 27728  df-blo 27729  df-0o 27730  df-ph 27796  df-cbn 27847  df-hlo 27870 This theorem is referenced by:  htth  27903
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