MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpyco2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem htpyco2 22997
Description: Compose a homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
htpyco2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpyco2.g (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpyco2.p (𝜑𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
htpyco2.h (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))
Assertion
Ref Expression
htpyco2 (𝜑 → (𝑃𝐻) ∈ ((𝑃𝐹)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝑃𝐺)))

Proof of Theorem htpyco2
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htpyco2.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2 cntop1 21264 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
4 eqid 2770 . . . 4 𝐽 = 𝐽
54toptopon 20941 . . 3 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
63, 5sylib 208 . 2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
7 htpyco2.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
8 cnco 21290 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝑃𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
91, 7, 8syl2anc 565 . 2 (𝜑 → (𝑃𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
10 htpyco2.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
11 cnco 21290 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝑃𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
1210, 7, 11syl2anc 565 . 2 (𝜑 → (𝑃𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
136, 1, 10htpycn 22991 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺) ⊆ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
14 htpyco2.h . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))
1513, 14sseldd 3751 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
16 cnco 21290 . . 3 ((𝐻 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝑃𝐻) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐿))
1715, 7, 16syl2anc 565 . 2 (𝜑 → (𝑃𝐻) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐿))
186, 1, 10, 14htpyi 22992 . . . . 5 ((𝜑𝑠 𝐽) → ((𝑠𝐻0) = (𝐹𝑠) ∧ (𝑠𝐻1) = (𝐺𝑠)))
1918simpld 476 . . . 4 ((𝜑𝑠 𝐽) → (𝑠𝐻0) = (𝐹𝑠))
2019fveq2d 6336 . . 3 ((𝜑𝑠 𝐽) → (𝑃‘(𝑠𝐻0)) = (𝑃‘(𝐹𝑠)))
21 simpr 471 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 𝐽) → 𝑠 𝐽)
22 0elunit 12496 . . . . . 6 0 ∈ (0[,]1)
23 opelxpi 5288 . . . . . 6 ((𝑠 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ⟨𝑠, 0⟩ ∈ ( 𝐽 × (0[,]1)))
2421, 22, 23sylancl 566 . . . . 5 ((𝜑𝑠 𝐽) → ⟨𝑠, 0⟩ ∈ ( 𝐽 × (0[,]1)))
25 iitopon 22901 . . . . . . . 8 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
26 txtopon 21614 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))) → (𝐽 ×t II) ∈ (TopOn‘( 𝐽 × (0[,]1))))
276, 25, 26sylancl 566 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽 ×t II) ∈ (TopOn‘( 𝐽 × (0[,]1))))
28 cntop2 21265 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
291, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ Top)
30 eqid 2770 . . . . . . . . 9 𝐾 = 𝐾
3130toptopon 20941 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
3229, 31sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
33 cnf2 21273 . . . . . . 7 (((𝐽 ×t II) ∈ (TopOn‘( 𝐽 × (0[,]1))) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾)) → 𝐻:( 𝐽 × (0[,]1))⟶ 𝐾)
3427, 32, 15, 33syl3anc 1475 . . . . . 6 (𝜑𝐻:( 𝐽 × (0[,]1))⟶ 𝐾)
35 fvco3 6417 . . . . . 6 ((𝐻:( 𝐽 × (0[,]1))⟶ 𝐾 ∧ ⟨𝑠, 0⟩ ∈ ( 𝐽 × (0[,]1))) → ((𝑃𝐻)‘⟨𝑠, 0⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 0⟩)))
3634, 35sylan 561 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ⟨𝑠, 0⟩ ∈ ( 𝐽 × (0[,]1))) → ((𝑃𝐻)‘⟨𝑠, 0⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 0⟩)))
3724, 36syldan 571 . . . 4 ((𝜑𝑠 𝐽) → ((𝑃𝐻)‘⟨𝑠, 0⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 0⟩)))
38 df-ov 6795 . . . 4 (𝑠(𝑃𝐻)0) = ((𝑃𝐻)‘⟨𝑠, 0⟩)
39 df-ov 6795 . . . . 5 (𝑠𝐻0) = (𝐻‘⟨𝑠, 0⟩)
4039fveq2i 6335 . . . 4 (𝑃‘(𝑠𝐻0)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 0⟩))
4137, 38, 403eqtr4g 2829 . . 3 ((𝜑𝑠 𝐽) → (𝑠(𝑃𝐻)0) = (𝑃‘(𝑠𝐻0)))
424, 30cnf 21270 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
431, 42syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹: 𝐽 𝐾)
44 fvco3 6417 . . . 4 ((𝐹: 𝐽 𝐾𝑠 𝐽) → ((𝑃𝐹)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐹𝑠)))
4543, 44sylan 561 . . 3 ((𝜑𝑠 𝐽) → ((𝑃𝐹)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐹𝑠)))
4620, 41, 453eqtr4d 2814 . 2 ((𝜑𝑠 𝐽) → (𝑠(𝑃𝐻)0) = ((𝑃𝐹)‘𝑠))
4718simprd 477 . . . 4 ((𝜑𝑠 𝐽) → (𝑠𝐻1) = (𝐺𝑠))
4847fveq2d 6336 . . 3 ((𝜑𝑠 𝐽) → (𝑃‘(𝑠𝐻1)) = (𝑃‘(𝐺𝑠)))
49 1elunit 12497 . . . . . 6 1 ∈ (0[,]1)
50 opelxpi 5288 . . . . . 6 ((𝑠 𝐽 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ⟨𝑠, 1⟩ ∈ ( 𝐽 × (0[,]1)))
5121, 49, 50sylancl 566 . . . . 5 ((𝜑𝑠 𝐽) → ⟨𝑠, 1⟩ ∈ ( 𝐽 × (0[,]1)))
52 fvco3 6417 . . . . . 6 ((𝐻:( 𝐽 × (0[,]1))⟶ 𝐾 ∧ ⟨𝑠, 1⟩ ∈ ( 𝐽 × (0[,]1))) → ((𝑃𝐻)‘⟨𝑠, 1⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 1⟩)))
5334, 52sylan 561 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ⟨𝑠, 1⟩ ∈ ( 𝐽 × (0[,]1))) → ((𝑃𝐻)‘⟨𝑠, 1⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 1⟩)))
5451, 53syldan 571 . . . 4 ((𝜑𝑠 𝐽) → ((𝑃𝐻)‘⟨𝑠, 1⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 1⟩)))
55 df-ov 6795 . . . 4 (𝑠(𝑃𝐻)1) = ((𝑃𝐻)‘⟨𝑠, 1⟩)
56 df-ov 6795 . . . . 5 (𝑠𝐻1) = (𝐻‘⟨𝑠, 1⟩)
5756fveq2i 6335 . . . 4 (𝑃‘(𝑠𝐻1)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 1⟩))
5854, 55, 573eqtr4g 2829 . . 3 ((𝜑𝑠 𝐽) → (𝑠(𝑃𝐻)1) = (𝑃‘(𝑠𝐻1)))
594, 30cnf 21270 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐺: 𝐽 𝐾)
6010, 59syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺: 𝐽 𝐾)
61 fvco3 6417 . . . 4 ((𝐺: 𝐽 𝐾𝑠 𝐽) → ((𝑃𝐺)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐺𝑠)))
6260, 61sylan 561 . . 3 ((𝜑𝑠 𝐽) → ((𝑃𝐺)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐺𝑠)))
6348, 58, 623eqtr4d 2814 . 2 ((𝜑𝑠 𝐽) → (𝑠(𝑃𝐻)1) = ((𝑃𝐺)‘𝑠))
646, 9, 12, 17, 46, 63ishtpyd 22993 1 (𝜑 → (𝑃𝐻) ∈ ((𝑃𝐹)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝑃𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  cop 4320   cuni 4572   × cxp 5247  ccom 5253  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  0cc0 10137  1c1 10138  [,]cicc 12382  Topctop 20917  TopOnctopon 20934   Cn ccn 21248   ×t ctx 21583  IIcii 22897   Htpy chtpy 22985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-icc 12386  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-topgen 16311  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-top 20918  df-topon 20935  df-bases 20970  df-cn 21251  df-tx 21585  df-ii 22899  df-htpy 22988
This theorem is referenced by:  phtpyco2  23008
  Copyright terms: Public domain W3C validator