MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpyco1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem htpyco1 22997
Description: Compose a homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
htpyco1.n 𝑁 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑃𝑥)𝐻𝑦))
htpyco1.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
htpyco1.p (𝜑𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpyco1.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
htpyco1.g (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
htpyco1.h (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(𝐾 Htpy 𝐿)𝐺))
Assertion
Ref Expression
htpyco1 (𝜑𝑁 ∈ ((𝐹𝑃)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝐺𝑃)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐻   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem htpyco1
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htpyco1.j . 2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 htpyco1.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 htpyco1.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
4 cnco 21291 . . 3 ((𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝐹𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
52, 3, 4syl2anc 573 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
6 htpyco1.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
7 cnco 21291 . . 3 ((𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝐺𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
82, 6, 7syl2anc 573 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
9 htpyco1.n . . 3 𝑁 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑃𝑥)𝐻𝑦))
10 iitopon 22902 . . . . 5 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
121, 11cnmpt1st 21692 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐽))
131, 11, 12, 2cnmpt21f 21696 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑃𝑥)) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
141, 11cnmpt2nd 21693 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn II))
15 cntop2 21266 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
162, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Top)
17 eqid 2771 . . . . . . . 8 𝐾 = 𝐾
1817toptopon 20942 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
1916, 18sylib 208 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
2019, 3, 6htpycn 22992 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝐾 Htpy 𝐿)𝐺) ⊆ ((𝐾 ×t II) Cn 𝐿))
21 htpyco1.h . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(𝐾 Htpy 𝐿)𝐺))
2220, 21sseldd 3753 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ ((𝐾 ×t II) Cn 𝐿))
231, 11, 13, 14, 22cnmpt22f 21699 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑃𝑥)𝐻𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐿))
249, 23syl5eqel 2854 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐿))
25 cnf2 21274 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑃:𝑋 𝐾)
261, 19, 2, 25syl3anc 1476 . . . . . 6 (𝜑𝑃:𝑋 𝐾)
2726ffvelrnda 6504 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑃𝑠) ∈ 𝐾)
2819, 3, 6, 21htpyi 22993 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑠) ∈ 𝐾) → (((𝑃𝑠)𝐻0) = (𝐹‘(𝑃𝑠)) ∧ ((𝑃𝑠)𝐻1) = (𝐺‘(𝑃𝑠))))
2927, 28syldan 579 . . . 4 ((𝜑𝑠𝑋) → (((𝑃𝑠)𝐻0) = (𝐹‘(𝑃𝑠)) ∧ ((𝑃𝑠)𝐻1) = (𝐺‘(𝑃𝑠))))
3029simpld 482 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝑃𝑠)𝐻0) = (𝐹‘(𝑃𝑠)))
31 simpr 471 . . . 4 ((𝜑𝑠𝑋) → 𝑠𝑋)
32 0elunit 12497 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
33 fveq2 6333 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑠 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑠))
34 id 22 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → 𝑦 = 0)
3533, 34oveqan12d 6815 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → ((𝑃𝑥)𝐻𝑦) = ((𝑃𝑠)𝐻0))
36 ovex 6827 . . . . 5 ((𝑃𝑠)𝐻0) ∈ V
3735, 9, 36ovmpt2a 6942 . . . 4 ((𝑠𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑁0) = ((𝑃𝑠)𝐻0))
3831, 32, 37sylancl 574 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁0) = ((𝑃𝑠)𝐻0))
39 fvco3 6419 . . . 4 ((𝑃:𝑋 𝐾𝑠𝑋) → ((𝐹𝑃)‘𝑠) = (𝐹‘(𝑃𝑠)))
4026, 39sylan 569 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝐹𝑃)‘𝑠) = (𝐹‘(𝑃𝑠)))
4130, 38, 403eqtr4d 2815 . 2 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁0) = ((𝐹𝑃)‘𝑠))
4229simprd 483 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝑃𝑠)𝐻1) = (𝐺‘(𝑃𝑠)))
43 1elunit 12498 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
44 id 22 . . . . . 6 (𝑦 = 1 → 𝑦 = 1)
4533, 44oveqan12d 6815 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → ((𝑃𝑥)𝐻𝑦) = ((𝑃𝑠)𝐻1))
46 ovex 6827 . . . . 5 ((𝑃𝑠)𝐻1) ∈ V
4745, 9, 46ovmpt2a 6942 . . . 4 ((𝑠𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑁1) = ((𝑃𝑠)𝐻1))
4831, 43, 47sylancl 574 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁1) = ((𝑃𝑠)𝐻1))
49 fvco3 6419 . . . 4 ((𝑃:𝑋 𝐾𝑠𝑋) → ((𝐺𝑃)‘𝑠) = (𝐺‘(𝑃𝑠)))
5026, 49sylan 569 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝐺𝑃)‘𝑠) = (𝐺‘(𝑃𝑠)))
5142, 48, 503eqtr4d 2815 . 2 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁1) = ((𝐺𝑃)‘𝑠))
521, 5, 8, 24, 41, 51ishtpyd 22994 1 (𝜑𝑁 ∈ ((𝐹𝑃)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝐺𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145   cuni 4575  ccom 5254  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  cmpt2 6798  0cc0 10142  1c1 10143  [,]cicc 12383  Topctop 20918  TopOnctopon 20935   Cn ccn 21249   ×t ctx 21584  IIcii 22898   Htpy chtpy 22986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-icc 12387  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971  df-cn 21252  df-tx 21586  df-ii 22900  df-htpy 22989
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator