HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hst1h Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hst1h 29426
Description: The norm of a Hilbert-space-valued state equals one iff the state value equals the state value of the lattice unit. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hst1h ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((norm‘(𝑆𝐴)) = 1 ↔ (𝑆𝐴) = (𝑆‘ ℋ)))

Proof of Theorem hst1h
StepHypRef Expression
1 hstcl 29416 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (𝑆𝐴) ∈ ℋ)
2 ax-hvaddid 28201 . . . . 5 ((𝑆𝐴) ∈ ℋ → ((𝑆𝐴) + 0) = (𝑆𝐴))
31, 2syl 17 . . . 4 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((𝑆𝐴) + 0) = (𝑆𝐴))
43adantr 466 . . 3 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (norm‘(𝑆𝐴)) = 1) → ((𝑆𝐴) + 0) = (𝑆𝐴))
5 ax-1cn 10196 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
6 choccl 28505 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴C → (⊥‘𝐴) ∈ C )
7 hstcl 29416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (⊥‘𝐴) ∈ C ) → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ)
86, 7sylan2 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ)
9 normcl 28322 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ → (norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) ∈ ℝ)
1110resqcld 13242 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) ∈ ℝ)
1211recnd 10270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) ∈ ℂ)
13 pncan2 10490 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) ∈ ℂ) → ((1 + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) − 1) = ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2))
145, 12, 13sylancr 575 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((1 + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) − 1) = ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2))
1514adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (norm‘(𝑆𝐴)) = 1) → ((1 + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) − 1) = ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2))
16 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . . 14 ((norm‘(𝑆𝐴)) = 1 → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) = (1↑2))
17 sq1 13165 . . . . . . . . . . . . . 14 (1↑2) = 1
1816, 17syl6req 2822 . . . . . . . . . . . . 13 ((norm‘(𝑆𝐴)) = 1 → 1 = ((norm‘(𝑆𝐴))↑2))
1918oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . 12 ((norm‘(𝑆𝐴)) = 1 → (1 + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) = (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)))
20 hstnmoc 29422 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) = 1)
2119, 20sylan9eqr 2827 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (norm‘(𝑆𝐴)) = 1) → (1 + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) = 1)
2221oveq1d 6808 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (norm‘(𝑆𝐴)) = 1) → ((1 + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) − 1) = (1 − 1))
2315, 22eqtr3d 2807 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (norm‘(𝑆𝐴)) = 1) → ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) = (1 − 1))
24 1m1e0 11291 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
2523, 24syl6eq 2821 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (norm‘(𝑆𝐴)) = 1) → ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) = 0)
2625ex 397 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((norm‘(𝑆𝐴)) = 1 → ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) = 0))
2710recnd 10270 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) ∈ ℂ)
28 sqeq0 13134 . . . . . . . . 9 ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) ∈ ℂ → (((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) = 0 ↔ (norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 0))
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) = 0 ↔ (norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 0))
30 norm-i 28326 . . . . . . . . 9 ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ → ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 0 ↔ (𝑆‘(⊥‘𝐴)) = 0))
318, 30syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 0 ↔ (𝑆‘(⊥‘𝐴)) = 0))
3229, 31bitrd 268 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) = 0 ↔ (𝑆‘(⊥‘𝐴)) = 0))
3326, 32sylibd 229 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((norm‘(𝑆𝐴)) = 1 → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) = 0))
3433imp 393 . . . . 5 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (norm‘(𝑆𝐴)) = 1) → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) = 0)
3534oveq2d 6809 . . . 4 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (norm‘(𝑆𝐴)) = 1) → ((𝑆𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = ((𝑆𝐴) + 0))
36 hstoc 29421 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((𝑆𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = (𝑆‘ ℋ))
3736adantr 466 . . . 4 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (norm‘(𝑆𝐴)) = 1) → ((𝑆𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = (𝑆‘ ℋ))
3835, 37eqtr3d 2807 . . 3 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (norm‘(𝑆𝐴)) = 1) → ((𝑆𝐴) + 0) = (𝑆‘ ℋ))
394, 38eqtr3d 2807 . 2 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (norm‘(𝑆𝐴)) = 1) → (𝑆𝐴) = (𝑆‘ ℋ))
40 fveq2 6332 . . 3 ((𝑆𝐴) = (𝑆‘ ℋ) → (norm‘(𝑆𝐴)) = (norm‘(𝑆‘ ℋ)))
41 hst1a 29417 . . . 4 (𝑆 ∈ CHStates → (norm‘(𝑆‘ ℋ)) = 1)
4241adantr 466 . . 3 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (norm‘(𝑆‘ ℋ)) = 1)
4340, 42sylan9eqr 2827 . 2 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝑆𝐴) = (𝑆‘ ℋ)) → (norm‘(𝑆𝐴)) = 1)
4439, 43impbida 802 1 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((norm‘(𝑆𝐴)) = 1 ↔ (𝑆𝐴) = (𝑆‘ ℋ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  cmin 10468  2c2 11272  cexp 13067  chil 28116   + cva 28117  normcno 28120  0c0v 28121   C cch 28126  cort 28127  CHStateschst 28160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218  ax-hilex 28196  ax-hfvadd 28197  ax-hvcom 28198  ax-hvass 28199  ax-hv0cl 28200  ax-hvaddid 28201  ax-hfvmul 28202  ax-hvmulid 28203  ax-hvmulass 28204  ax-hvdistr1 28205  ax-hvdistr2 28206  ax-hvmul0 28207  ax-hfi 28276  ax-his1 28279  ax-his2 28280  ax-his3 28281  ax-his4 28282  ax-hcompl 28399
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-lm 21254  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cau 23273  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689  df-gdiv 27690  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-vs 27794  df-nmcv 27795  df-ims 27796  df-dip 27896  df-hnorm 28165  df-hvsub 28168  df-hlim 28169  df-hcau 28170  df-sh 28404  df-ch 28418  df-oc 28449  df-ch0 28450  df-chj 28509  df-hst 29411
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator