Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hsphoidmvle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hsphoidmvle 41121
Description: The dimensional volume of a half-open interval intersected with a half-space, is less than or equal to the dimensional volume of the original half-open interval. Used in the last inequality of step (e) of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hsphoidmvle.l 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
hsphoidmvle.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hsphoidmvle.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝑌))
hsphoidmvle.y 𝑋 = (𝑌 ∪ {𝑍})
hsphoidmvle.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
hsphoidmvle.h 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (𝑗𝑋 ↦ if(𝑗𝑌, (𝑐𝑗), if((𝑐𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐𝑗), 𝑥)))))
hsphoidmvle.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
hsphoidmvle.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
hsphoidmvle (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)((𝐻𝐶)‘𝐵)) ≤ (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑐,𝑗,𝑘   𝐶,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝐶,𝑐,𝑗,𝑥   𝐻,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑋,𝑐,𝑗   𝑌,𝑐,𝑗,𝑥   𝑍,𝑐,𝑗,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑐,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗,𝑐)   𝐵(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑗,𝑐)   𝐿(𝑥,𝑗,𝑘,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑌(𝑘,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hsphoidmvle
StepHypRef Expression
1 hsphoidmvle.a . . . . 5 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
2 hsphoidmvle.z . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝑌))
32eldifad 3619 . . . . 5 (𝜑𝑍𝑋)
41, 3ffvelrnd 6400 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑍) ∈ ℝ)
5 hsphoidmvle.b . . . . . 6 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
65, 3ffvelrnd 6400 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑍) ∈ ℝ)
7 hsphoidmvle.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
86, 7ifcld 4164 . . . 4 (𝜑 → if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶) ∈ ℝ)
9 volicore 41116 . . . 4 (((𝐴𝑍) ∈ ℝ ∧ if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))) ∈ ℝ)
104, 8, 9syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (vol‘((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))) ∈ ℝ)
11 volicore 41116 . . . 4 (((𝐴𝑍) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑍) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) ∈ ℝ)
124, 6, 11syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) ∈ ℝ)
13 hsphoidmvle.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
14 difssd 3771 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝑍}) ⊆ 𝑋)
15 ssfi 8221 . . . . 5 ((𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∖ {𝑍}) ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ {𝑍}) ∈ Fin)
1613, 14, 15syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝑍}) ∈ Fin)
17 eldifi 3765 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍}) → 𝑘𝑋)
1817adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → 𝑘𝑋)
191ffvelrnda 6399 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
205ffvelrnda 6399 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
21 volicore 41116 . . . . . 6 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
2219, 20, 21syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
2318, 22syldan 486 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
2416, 23fprodrecl 14727 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
25 nfv 1883 . . . 4 𝑘𝜑
2618, 19syldan 486 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
2718, 20syldan 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
2827rexrd 10127 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
29 icombl 23378 . . . . . 6 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ dom vol)
3026, 28, 29syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ dom vol)
31 volge0 40495 . . . . 5 (((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
3230, 31syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → 0 ≤ (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
3325, 16, 23, 32fprodge0 14768 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
348rexrd 10127 . . . . 5 (𝜑 → if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶) ∈ ℝ*)
35 icombl 23378 . . . . 5 (((𝐴𝑍) ∈ ℝ ∧ if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶)) ∈ dom vol)
364, 34, 35syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶)) ∈ dom vol)
376rexrd 10127 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑍) ∈ ℝ*)
38 icombl 23378 . . . . 5 (((𝐴𝑍) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑍) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)) ∈ dom vol)
394, 37, 38syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)) ∈ dom vol)
404rexrd 10127 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑍) ∈ ℝ*)
414leidd 10632 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑍) ≤ (𝐴𝑍))
42 min1 12058 . . . . . 6 (((𝐵𝑍) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶) ≤ (𝐵𝑍))
436, 7, 42syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶) ≤ (𝐵𝑍))
44 icossico 12281 . . . . 5 ((((𝐴𝑍) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑍) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴𝑍) ≤ (𝐴𝑍) ∧ if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶) ≤ (𝐵𝑍))) → ((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶)) ⊆ ((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)))
4540, 37, 41, 43, 44syl22anc 1367 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶)) ⊆ ((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)))
46 volss 23347 . . . 4 ((((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶)) ∈ dom vol ∧ ((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)) ∈ dom vol ∧ ((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶)) ⊆ ((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) → (vol‘((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))) ≤ (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))))
4736, 39, 45, 46syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → (vol‘((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))) ≤ (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))))
4810, 12, 24, 33, 47lemul1ad 11001 . 2 (𝜑 → ((vol‘((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))) ≤ ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
49 hsphoidmvle.l . . . . 5 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
50 ne0i 3954 . . . . . 6 (𝑍𝑋𝑋 ≠ ∅)
513, 50syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
52 hsphoidmvle.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (𝑗𝑋 ↦ if(𝑗𝑌, (𝑐𝑗), if((𝑐𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐𝑗), 𝑥)))))
5352, 7, 13, 5hsphoif 41111 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐻𝐶)‘𝐵):𝑋⟶ℝ)
5449, 13, 51, 1, 53hoidmvn0val 41119 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)((𝐻𝐶)‘𝐵)) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘))))
5553ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
56 volicore 41116 . . . . . . 7 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘))) ∈ ℝ)
5719, 55, 56syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘))) ∈ ℝ)
5857recnd 10106 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘))) ∈ ℂ)
59 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑍 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑍))
60 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑍 → (((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘) = (((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑍))
6159, 60oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑍 → ((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘)) = ((𝐴𝑍)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑍)))
6261fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑍 → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑍)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑍))))
6362adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝑍) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑍)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑍))))
6452, 7, 13, 5, 3hsphoival 41114 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑍) = if(𝑍𝑌, (𝐵𝑍), if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶)))
652eldifbd 3620 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 𝑍𝑌)
6665iffalsed 4130 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑍𝑌, (𝐵𝑍), if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶)) = if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))
6764, 66eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑍) = if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))
6867oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝑍)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑍)) = ((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶)))
6968fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol‘((𝐴𝑍)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑍))) = (vol‘((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))))
7069adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝑍) → (vol‘((𝐴𝑍)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑍))) = (vol‘((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))))
7163, 70eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 𝑍) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))))
7213, 58, 3, 71fprodsplit1 40143 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘))) = ((vol‘((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘)))))
737adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → 𝐶 ∈ ℝ)
7413adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → 𝑋 ∈ Fin)
755adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
7652, 73, 74, 75, 18hsphoival 41114 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → (((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘) = if(𝑘𝑌, (𝐵𝑘), if((𝐵𝑘) ≤ 𝐶, (𝐵𝑘), 𝐶)))
77 hsphoidmvle.y . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = (𝑌 ∪ {𝑍})
7817, 77syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍}) → 𝑘 ∈ (𝑌 ∪ {𝑍}))
79 eldifn 3766 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍}) → ¬ 𝑘 ∈ {𝑍})
80 elunnel2 39512 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (𝑌 ∪ {𝑍}) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {𝑍}) → 𝑘𝑌)
8178, 79, 80syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍}) → 𝑘𝑌)
8281adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → 𝑘𝑌)
8382iftrued 4127 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → if(𝑘𝑌, (𝐵𝑘), if((𝐵𝑘) ≤ 𝐶, (𝐵𝑘), 𝐶)) = (𝐵𝑘))
8476, 83eqtrd 2685 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → (((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘) = (𝐵𝑘))
8584oveq2d 6706 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → ((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘)) = ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
8685fveq2d 6233 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
8786prodeq2dv 14697 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
8887oveq2d 6706 . . . 4 (𝜑 → ((vol‘((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(((𝐻𝐶)‘𝐵)‘𝑘)))) = ((vol‘((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
8954, 72, 883eqtrd 2689 . . 3 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)((𝐻𝐶)‘𝐵)) = ((vol‘((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
9049, 1, 5, 13hoidmvval 41112 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
9151neneqd 2828 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑋 = ∅)
9291iffalsed 4130 . . . 4 (𝜑 → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
9322recnd 10106 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
94 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑍 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑍))
9559, 94oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑍 → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = ((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)))
9695fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑍 → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))))
9796adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 𝑍) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))))
9813, 93, 3, 97fprodsplit1 40143 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
9990, 92, 983eqtrd 2689 . . 3 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
10089, 99breq12d 4698 . 2 (𝜑 → ((𝐴(𝐿𝑋)((𝐻𝐶)‘𝐵)) ≤ (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) ↔ ((vol‘((𝐴𝑍)[,)if((𝐵𝑍) ≤ 𝐶, (𝐵𝑍), 𝐶))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))) ≤ ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))))
10148, 100mpbird 247 1 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)((𝐻𝐶)‘𝐵)) ≤ (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  cdif 3604  cun 3605  wss 3607  c0 3948  ifcif 4119  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  cr 9973  0cc0 9974   · cmul 9979  *cxr 10111  cle 10113  [,)cico 12215  cprod 14679  volcvol 23278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-prod 14680  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cmp 21238  df-ovol 23279  df-vol 23280
This theorem is referenced by:  sge0hsphoire  41124  hoidmvlelem1  41130  hoidmvlelem4  41133  hspmbllem2  41162
  Copyright terms: Public domain W3C validator