HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hsn0elch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hsn0elch 28445
Description: The zero subspace belongs to the set of closed subspaces of Hilbert space. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hsn0elch {0} ∈ C

Proof of Theorem hsn0elch
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 28200 . . . . 5 0 ∈ ℋ
2 snssi 4474 . . . . 5 (0 ∈ ℋ → {0} ⊆ ℋ)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 {0} ⊆ ℋ
41elexi 3365 . . . . 5 0 ∈ V
54snid 4347 . . . 4 0 ∈ {0}
63, 5pm3.2i 447 . . 3 ({0} ⊆ ℋ ∧ 0 ∈ {0})
7 velsn 4332 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {0} ↔ 𝑥 = 0)
8 velsn 4332 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {0} ↔ 𝑦 = 0)
9 oveq12 6802 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 0𝑦 = 0) → (𝑥 + 𝑦) = (0 + 0))
101hvaddid2i 28226 . . . . . . . 8 (0 + 0) = 0
119, 10syl6eq 2821 . . . . . . 7 ((𝑥 = 0𝑦 = 0) → (𝑥 + 𝑦) = 0)
12 ovex 6823 . . . . . . . 8 (𝑥 + 𝑦) ∈ V
1312elsn 4331 . . . . . . 7 ((𝑥 + 𝑦) ∈ {0} ↔ (𝑥 + 𝑦) = 0)
1411, 13sylibr 224 . . . . . 6 ((𝑥 = 0𝑦 = 0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {0})
157, 8, 14syl2anb 585 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {0} ∧ 𝑦 ∈ {0}) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {0})
1615rgen2a 3126 . . . 4 𝑥 ∈ {0}∀𝑦 ∈ {0} (𝑥 + 𝑦) ∈ {0}
17 oveq2 6801 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · 0))
18 hvmul0 28221 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 0) = 0)
1917, 18sylan9eqr 2827 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 · 𝑦) = 0)
20 ovex 6823 . . . . . . . 8 (𝑥 · 𝑦) ∈ V
2120elsn 4331 . . . . . . 7 ((𝑥 · 𝑦) ∈ {0} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 0)
2219, 21sylibr 224 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {0})
238, 22sylan2b 581 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ {0}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {0})
2423rgen2 3124 . . . 4 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ {0} (𝑥 · 𝑦) ∈ {0}
2516, 24pm3.2i 447 . . 3 (∀𝑥 ∈ {0}∀𝑦 ∈ {0} (𝑥 + 𝑦) ∈ {0} ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ {0} (𝑥 · 𝑦) ∈ {0})
26 issh2 28406 . . 3 ({0} ∈ S ↔ (({0} ⊆ ℋ ∧ 0 ∈ {0}) ∧ (∀𝑥 ∈ {0}∀𝑦 ∈ {0} (𝑥 + 𝑦) ∈ {0} ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ {0} (𝑥 · 𝑦) ∈ {0})))
276, 25, 26mpbir2an 690 . 2 {0} ∈ S
284fconst2 6614 . . . . . 6 (𝑓:ℕ⟶{0} ↔ 𝑓 = (ℕ × {0}))
29 hlim0 28432 . . . . . . 7 (ℕ × {0}) ⇝𝑣 0
30 breq1 4789 . . . . . . 7 (𝑓 = (ℕ × {0}) → (𝑓𝑣 0 ↔ (ℕ × {0}) ⇝𝑣 0))
3129, 30mpbiri 248 . . . . . 6 (𝑓 = (ℕ × {0}) → 𝑓𝑣 0)
3228, 31sylbi 207 . . . . 5 (𝑓:ℕ⟶{0} → 𝑓𝑣 0)
33 hlimuni 28435 . . . . . 6 ((𝑓𝑣 0𝑓𝑣 𝑥) → 0 = 𝑥)
3433eleq1d 2835 . . . . 5 ((𝑓𝑣 0𝑓𝑣 𝑥) → (0 ∈ {0} ↔ 𝑥 ∈ {0}))
3532, 34sylan 569 . . . 4 ((𝑓:ℕ⟶{0} ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (0 ∈ {0} ↔ 𝑥 ∈ {0}))
365, 35mpbii 223 . . 3 ((𝑓:ℕ⟶{0} ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ {0})
3736gen2 1871 . 2 𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶{0} ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ {0})
38 isch2 28420 . 2 ({0} ∈ C ↔ ({0} ∈ S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶{0} ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ {0})))
3927, 37, 38mpbir2an 690 1 {0} ∈ C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wal 1629   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wss 3723  {csn 4316   class class class wbr 4786   × cxp 5247  wf 6027  (class class class)co 6793  cc 10136  cn 11222  chil 28116   + cva 28117   · csm 28118  0c0v 28121  𝑣 chli 28124   S csh 28125   C cch 28126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218  ax-hilex 28196  ax-hfvadd 28197  ax-hvcom 28198  ax-hvass 28199  ax-hv0cl 28200  ax-hvaddid 28201  ax-hfvmul 28202  ax-hvmulid 28203  ax-hvmulass 28204  ax-hvdistr1 28205  ax-hvdistr2 28206  ax-hvmul0 28207  ax-hfi 28276  ax-his1 28279  ax-his2 28280  ax-his3 28281  ax-his4 28282
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-icc 12387  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971  df-lm 21254  df-haus 21340  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689  df-gdiv 27690  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-vs 27794  df-nmcv 27795  df-ims 27796  df-hnorm 28165  df-hvsub 28168  df-hlim 28169  df-sh 28404  df-ch 28418
This theorem is referenced by:  h0elch  28452  h1de2ctlem  28754
  Copyright terms: Public domain W3C validator