MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hpgid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hpgid 25879
Description: The half-plane relation is reflexive. Theorem 9.11 of [Schwabhauser] p. 72. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpgid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a (𝜑𝐴𝑃)
hpgid.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hpgid.1 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐷)
Assertion
Ref Expression
hpgid (𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐴)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑡,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hpgid
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 756 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑃𝐴𝑂𝑐)) → 𝐴𝑂𝑐)
21, 1jca 501 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑃𝐴𝑂𝑐)) → (𝐴𝑂𝑐𝐴𝑂𝑐))
3 hpgid.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 hpgid.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 hpgid.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 hpgid.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 hpgid.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
8 hpgid.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
9 hpgid.o . . . 4 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
10 hpgid.1 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐷)
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10hpgerlem 25878 . . 3 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 𝐴𝑂𝑐)
122, 11reximddv 3166 . 2 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 (𝐴𝑂𝑐𝐴𝑂𝑐))
133, 4, 5, 9, 6, 7, 8, 8hpgbr 25873 . 2 (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐴 ↔ ∃𝑐𝑃 (𝐴𝑂𝑐𝐴𝑂𝑐)))
1412, 13mpbird 247 1 (𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062  cdif 3720   class class class wbr 4787  {copab 4847  ran crn 5251  cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  TarskiGcstrkg 25550  Itvcitv 25556  LineGclng 25557  hpGchpg 25870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-s2 13802  df-s3 13803  df-trkgc 25568  df-trkgb 25569  df-trkgcb 25570  df-trkg 25573  df-cgrg 25627  df-hpg 25871
This theorem is referenced by:  tgasa1  25960
  Copyright terms: Public domain W3C validator