HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hosval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hosval 28939
Description: Value of the sum of two Hilbert space operators. (Contributed by NM, 10-Nov-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hosval ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑆𝐴) + (𝑇𝐴)))

Proof of Theorem hosval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hosmval 28934 . . . 4 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 +op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥))))
21fveq1d 6335 . . 3 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)))‘𝐴))
3 fveq2 6333 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝐴))
4 fveq2 6333 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝐴))
53, 4oveq12d 6814 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)) = ((𝑆𝐴) + (𝑇𝐴)))
6 eqid 2771 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)))
7 ovex 6827 . . . 4 ((𝑆𝐴) + (𝑇𝐴)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 6426 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)))‘𝐴) = ((𝑆𝐴) + (𝑇𝐴)))
92, 8sylan9eq 2825 . 2 (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑆𝐴) + (𝑇𝐴)))
1093impa 1100 1 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑆𝐴) + (𝑇𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cmpt 4864  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  chil 28116   + cva 28117   +op chos 28135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-hilex 28196
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-map 8015  df-hosum 28929
This theorem is referenced by:  hoscl  28944  hoaddcomi  28971  hodsi  28974  hoaddassi  28975  hocadddiri  28978  hoaddid1i  28985  honegsubi  28995  hoadddi  29002  hoadddir  29003  lnophsi  29200  hmops  29219  adjadd  29292  nmoptrii  29293  leopadd  29331  pjsdii  29354  pjscji  29369  pjtoi  29378
  Copyright terms: Public domain W3C validator