MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  homarcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem homarcl2 16732
Description: Reverse closure for the domain and codomain of an arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
homahom.h 𝐻 = (Homa𝐶)
homarcl2.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
homarcl2 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → (𝑋𝐵𝑌𝐵))

Proof of Theorem homarcl2
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6258 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐻‘⟨𝑋, 𝑌⟩) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝐻)
2 df-ov 6693 . . . 4 (𝑋𝐻𝑌) = (𝐻‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
31, 2eleq2s 2748 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝐻)
4 homahom.h . . . . 5 𝐻 = (Homa𝐶)
5 homarcl2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐶)
64homarcl 16725 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → 𝐶 ∈ Cat)
74, 5, 6homaf 16727 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → 𝐻:(𝐵 × 𝐵)⟶𝒫 ((𝐵 × 𝐵) × V))
8 fdm 6089 . . . 4 (𝐻:(𝐵 × 𝐵)⟶𝒫 ((𝐵 × 𝐵) × V) → dom 𝐻 = (𝐵 × 𝐵))
97, 8syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → dom 𝐻 = (𝐵 × 𝐵))
103, 9eleqtrd 2732 . 2 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
11 opelxp 5180 . 2 (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵) ↔ (𝑋𝐵𝑌𝐵))
1210, 11sylib 208 1 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → (𝑋𝐵𝑌𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  𝒫 cpw 4191  cop 4216   × cxp 5141  dom cdm 5143  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  Homachoma 16720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-homa 16723
This theorem is referenced by:  homarel  16733  homa1  16734  homahom2  16735  homadm  16737  homacd  16738  arwdm  16744  arwcd  16745  coahom  16767  arwlid  16769  arwrid  16770  arwass  16771
  Copyright terms: Public domain W3C validator