Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiqssbllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiqssbllem1 41350
Description: The center of the n-dimensional ball belongs to the half-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiqssbllem1.i 𝑖𝜑
hoiqssbllem1.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbllem1.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
hoiqssbllem1.y (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
hoiqssbllem1.c (𝜑𝐶:𝑋⟶ℝ)
hoiqssbllem1.d (𝜑𝐷:𝑋⟶ℝ)
hoiqssbllem1.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
hoiqssbllem1.l ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
hoiqssbllem1.r ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
Assertion
Ref Expression
hoiqssbllem1 (𝜑𝑌X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐶(𝑖)   𝐷(𝑖)   𝐸(𝑖)

Proof of Theorem hoiqssbllem1
StepHypRef Expression
1 hoiqssbllem1.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
21elexd 3363 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ V)
3 elmapfn 8031 . . . 4 (𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → 𝑌 Fn 𝑋)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝑌 Fn 𝑋)
5 hoiqssbllem1.i . . . 4 𝑖𝜑
6 hoiqssbllem1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶:𝑋⟶ℝ)
76ffvelrnda 6502 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
87rexrd 10290 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ*)
9 hoiqssbllem1.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷:𝑋⟶ℝ)
109ffvelrnda 6502 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℝ)
1110rexrd 10290 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ℝ*)
12 elmapi 8030 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → 𝑌:𝑋⟶ℝ)
131, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌:𝑋⟶ℝ)
1413ffvelrnda 6502 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ)
1514rexrd 10290 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ*)
16 hoiqssbllem1.e . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
17 2rp 12039 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
19 hoiqssbllem1.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
20 hoiqssbllem1.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
21 hashnncl 13358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
2319, 22mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
2423nnred 11236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ)
2523nngt0d 11265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < (♯‘𝑋))
2624, 25elrpd 12071 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ+)
2726rpsqrtcld 14357 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (√‘(♯‘𝑋)) ∈ ℝ+)
2818, 27rpmulcld 12090 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℝ+)
2916, 28rpdivcld 12091 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ+)
3029rpred 12074 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ)
3130adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ)
3214, 31resubcld 10659 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)
3332rexrd 10290 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
34 hoiqssbllem1.l . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
35 iooltub 40249 . . . . . . . 8 ((((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐶𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) → (𝐶𝑖) < (𝑌𝑖))
3633, 15, 34, 35syl3anc 1475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) < (𝑌𝑖))
377, 14, 36ltled 10386 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐶𝑖) ≤ (𝑌𝑖))
3814, 31readdcld 10270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)
3938rexrd 10290 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
40 hoiqssbllem1.r . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
41 ioogtlb 40232 . . . . . . 7 (((𝑌𝑖) ∈ ℝ* ∧ ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) → (𝑌𝑖) < (𝐷𝑖))
4215, 39, 40, 41syl3anc 1475 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) < (𝐷𝑖))
438, 11, 15, 37, 42elicod 12428 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
4443ex 397 . . . 4 (𝜑 → (𝑖𝑋 → (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))))
455, 44ralrimi 3105 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖𝑋 (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
462, 4, 453jca 1121 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ V ∧ 𝑌 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))))
47 elixp2 8065 . 2 (𝑌X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) ↔ (𝑌 ∈ V ∧ 𝑌 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑌𝑖) ∈ ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))))
4846, 47sylibr 224 1 (𝜑𝑌X𝑖𝑋 ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070  wnf 1855  wcel 2144  wne 2942  wral 3060  Vcvv 3349  c0 4061   class class class wbr 4784   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  𝑚 cmap 8008  Xcixp 8061  Fincfn 8108  cr 10136   + caddc 10140   · cmul 10142  *cxr 10274   < clt 10275  cmin 10467   / cdiv 10885  cn 11221  2c2 11271  +crp 12034  (,)cioo 12379  [,)cico 12381  chash 13320  csqrt 14180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-er 7895  df-map 8010  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-ioo 12383  df-ico 12385  df-fz 12533  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182
This theorem is referenced by:  hoiqssbllem3  41352
  Copyright terms: Public domain W3C validator