Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoidmvval0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoidmvval0 41315
Description: The dimensional volume of the (half-open interval) empty set. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmvval0.p 𝑗𝜑
hoidmvval0.l 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
hoidmvval0.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoidmvval0.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval0.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval0.j (𝜑 → ∃𝑗𝑋 (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
Assertion
Ref Expression
hoidmvval0 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑗   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvval0
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝜑𝜑)
2 hoidmvval0.j . . 3 (𝜑 → ∃𝑗𝑋 (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
3 fveq2 6332 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑗))
4 fveq2 6332 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑗))
53, 4breq12d 4797 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘) ↔ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)))
65cbvrexv 3320 . . . 4 (∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘) ↔ ∃𝑗𝑋 (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
7 rexn0 4213 . . . 4 (∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘) → 𝑋 ≠ ∅)
86, 7sylbir 225 . . 3 (∃𝑗𝑋 (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗) → 𝑋 ≠ ∅)
92, 8syl 17 . 2 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
10 hoidmvval0.l . . . 4 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
11 hoidmvval0.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
1211adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
13 simpr 471 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
14 hoidmvval0.a . . . . 5 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
1514adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
16 hoidmvval0.b . . . . 5 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
1716adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
1810, 12, 13, 15, 17hoidmvn0val 41312 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
192adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑗𝑋 (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
20 hoidmvval0.p . . . . . 6 𝑗𝜑
21 nfv 1994 . . . . . 6 𝑗 𝑋 ≠ ∅
2220, 21nfan 1979 . . . . 5 𝑗(𝜑𝑋 ≠ ∅)
23 nfv 1994 . . . . 5 𝑗𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0
24 nfv 1994 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
25 nfcv 2912 . . . . . . . 8 𝑘(vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗)))
26113ad2ant1 1126 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → 𝑋 ∈ Fin)
2714ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
2816ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
29 volicore 41309 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
3027, 28, 29syl2anc 565 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
3130recnd 10269 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
32313ad2antl1 1199 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
334, 3oveq12d 6810 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = ((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗)))
3433fveq2d 6336 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))))
35 simp2 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → 𝑗𝑋)
3614ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐴𝑗) ∈ ℝ)
37363adant3 1125 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → (𝐴𝑗) ∈ ℝ)
3816ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
39383adant3 1125 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
40 volico 40711 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑗) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = if((𝐴𝑗) < (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0))
4137, 39, 40syl2anc 565 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = if((𝐴𝑗) < (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0))
42 simp3 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
4339, 37lenltd 10384 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → ((𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗) ↔ ¬ (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)))
4442, 43mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → ¬ (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗))
4544iffalsed 4234 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → if((𝐴𝑗) < (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0) = 0)
4641, 45eqtrd 2804 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = 0)
4724, 25, 26, 32, 34, 35, 46fprod0 40340 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)
48473adant1r 1186 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)
49483exp 1111 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝑗𝑋 → ((𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)))
5022, 23, 49rexlimd 3173 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑗𝑋 (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0))
5119, 50mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)
52 eqidd 2771 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 0 = 0)
5318, 51, 523eqtrd 2808 . 2 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = 0)
541, 9, 53syl2anc 565 1 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wnf 1855  wcel 2144  wne 2942  wrex 3061  c0 4061  ifcif 4223   class class class wbr 4784  cmpt 4861  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  cmpt2 6794  𝑚 cmap 8008  Fincfn 8108  cc 10135  cr 10136  0cc0 10137   < clt 10275  cle 10276  cmin 10467  [,)cico 12381  cprod 14841  volcvol 23450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-prod 14842  df-rest 16290  df-topgen 16311  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-top 20918  df-topon 20935  df-bases 20970  df-cmp 21410  df-ovol 23451  df-vol 23452
This theorem is referenced by:  hoidmvval0b  41318  hoidmvlelem5  41327
  Copyright terms: Public domain W3C validator