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Theorem hoicvr 41083
Description: 𝐼 is a countable set of half-open intervals that covers the whole multidimensional reals. See Definition 1135 (b) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoicvr.2 𝐼 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩))
hoicvr.3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
hoicvr (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝑋) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑋,𝑗,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑖,𝑗)

Proof of Theorem hoicvr
Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 10065 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
2 mapdm0 7914 . . . . . . 7 (ℝ ∈ V → (ℝ ↑𝑚 ∅) = {∅})
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 (ℝ ↑𝑚 ∅) = {∅}
43a1i 11 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑𝑚 ∅) = {∅})
5 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑𝑚 𝑋) = (ℝ ↑𝑚 ∅))
6 ixpeq1 7961 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖) = X𝑖 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
76iuneq2d 4579 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖) = 𝑗 ∈ ℕ X𝑖 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
8 ixp0x 7978 . . . . . . . . . 10 X𝑖 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖) = {∅}
98a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → X𝑖 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖) = {∅})
109iuneq2i 4571 . . . . . . . 8 𝑗 ∈ ℕ X𝑖 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖) = 𝑗 ∈ ℕ {∅}
11 1nn 11069 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
1211ne0ii 3956 . . . . . . . . 9 ℕ ≠ ∅
13 iunconst 4561 . . . . . . . . 9 (ℕ ≠ ∅ → 𝑗 ∈ ℕ {∅} = {∅})
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑗 ∈ ℕ {∅} = {∅}
1510, 14eqtri 2673 . . . . . . 7 𝑗 ∈ ℕ X𝑖 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖) = {∅}
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → 𝑗 ∈ ℕ X𝑖 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖) = {∅})
177, 16eqtrd 2685 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖) = {∅})
184, 5, 173eqtr4d 2695 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑𝑚 𝑋) = 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
19 eqimss 3690 . . . 4 ((ℝ ↑𝑚 𝑋) = 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖) → (ℝ ↑𝑚 𝑋) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
2018, 19syl 17 . . 3 (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑𝑚 𝑋) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
2120adantl 481 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → (ℝ ↑𝑚 𝑋) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
22 simpll 805 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝜑)
23 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
24 simplr 807 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → ¬ 𝑋 = ∅)
25 rncoss 5418 . . . . . . . . . . 11 ran (abs ∘ 𝑓) ⊆ ran abs
26 absf 14121 . . . . . . . . . . . 12 abs:ℂ⟶ℝ
27 frn 6091 . . . . . . . . . . . 12 (abs:ℂ⟶ℝ → ran abs ⊆ ℝ)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ran abs ⊆ ℝ
2925, 28sstri 3645 . . . . . . . . . 10 ran (abs ∘ 𝑓) ⊆ ℝ
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ran (abs ∘ 𝑓) ⊆ ℝ)
31 ltso 10156 . . . . . . . . . . 11 < Or ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → < Or ℝ)
3326a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → abs:ℂ⟶ℝ)
34 elmapi 7921 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → 𝑓:𝑋⟶ℝ)
3534adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓:𝑋⟶ℝ)
36 ax-resscn 10031 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ⊆ ℂ
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → ℝ ⊆ ℂ)
3835, 37fssd 6095 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓:𝑋⟶ℂ)
39 fco 6096 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ 𝑓:𝑋⟶ℂ) → (abs ∘ 𝑓):𝑋⟶ℝ)
4033, 38, 39syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → (abs ∘ 𝑓):𝑋⟶ℝ)
41 hoicvr.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
4241adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
43 rnffi 39670 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ 𝑓):𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ran (abs ∘ 𝑓) ∈ Fin)
4440, 42, 43syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → ran (abs ∘ 𝑓) ∈ Fin)
4544adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ran (abs ∘ 𝑓) ∈ Fin)
46 frn 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓:𝑋⟶ℝ → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
4734, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
4826fdmi 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 dom abs = ℂ
4948eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℂ = dom abs
5036, 49sseqtri 3670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ ⊆ dom abs
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → ℝ ⊆ dom abs)
5247, 51sstrd 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → ran 𝑓 ⊆ dom abs)
53 dmcosseq 5419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ran 𝑓 ⊆ dom abs → dom (abs ∘ 𝑓) = dom 𝑓)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → dom (abs ∘ 𝑓) = dom 𝑓)
55 fdm 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝑋⟶ℝ → dom 𝑓 = 𝑋)
5634, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → dom 𝑓 = 𝑋)
5754, 56eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → dom (abs ∘ 𝑓) = 𝑋)
5857adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → dom (abs ∘ 𝑓) = 𝑋)
59 neqne 2831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
6059adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
6158, 60eqnetrd 2890 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → dom (abs ∘ 𝑓) ≠ ∅)
6261neneqd 2828 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ¬ dom (abs ∘ 𝑓) = ∅)
63 dm0rn0 5374 . . . . . . . . . . . . 13 (dom (abs ∘ 𝑓) = ∅ ↔ ran (abs ∘ 𝑓) = ∅)
6462, 63sylnib 317 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ¬ ran (abs ∘ 𝑓) = ∅)
6564neqned 2830 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ran (abs ∘ 𝑓) ≠ ∅)
6665adantll 750 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ran (abs ∘ 𝑓) ≠ ∅)
67 fisupcl 8416 . . . . . . . . . 10 (( < Or ℝ ∧ (ran (abs ∘ 𝑓) ∈ Fin ∧ ran (abs ∘ 𝑓) ≠ ∅ ∧ ran (abs ∘ 𝑓) ⊆ ℝ)) → sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) ∈ ran (abs ∘ 𝑓))
6832, 45, 66, 30, 67syl13anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) ∈ ran (abs ∘ 𝑓))
6930, 68sseldd 3637 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) ∈ ℝ)
70 arch 11327 . . . . . . . 8 (sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) ∈ ℝ → ∃𝑗 ∈ ℕ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗)
7169, 70syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑗 ∈ ℕ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗)
7235ffnd 6084 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓 Fn 𝑋)
7372ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) → 𝑓 Fn 𝑋)
7473adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) → 𝑓 Fn 𝑋)
75 simplll 813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)))
76 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ)
7776ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑗 ∈ ℕ)
78 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗)
79 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
80 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℕ)
81 zssre 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℤ ⊆ ℝ
82 ressxr 10121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℝ ⊆ ℝ*
8381, 82sstri 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℤ ⊆ ℝ*
84 nnnegz 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → -𝑗 ∈ ℤ)
8583, 84sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → -𝑗 ∈ ℝ*)
8685adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → -𝑗 ∈ ℝ*)
8780, 86sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → -𝑗 ∈ ℝ*)
8876nnxrd 39515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ*)
8988adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → 𝑗 ∈ ℝ*)
9080, 89sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑗 ∈ ℝ*)
91343ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) → 𝑓:𝑋⟶ℝ)
9282a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) → ℝ ⊆ ℝ*)
9391, 92fssd 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) → 𝑓:𝑋⟶ℝ*)
94933adant1l 1358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) → 𝑓:𝑋⟶ℝ*)
9594ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ*)
96 nnre 11065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
9796adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → 𝑗 ∈ ℝ)
98973ad2antl2 1244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑗 ∈ ℝ)
9998renegcld 10495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → -𝑗 ∈ ℝ)
10035ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ)
1011003ad2antl1 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ)
102101renegcld 10495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → -(𝑓𝑖) ∈ ℝ)
103 simpll 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝜑)
104 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
105 n0i 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖𝑋 → ¬ 𝑋 = ∅)
106105adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ¬ 𝑋 = ∅)
107103, 104, 106, 69syl21anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) ∈ ℝ)
1081073ad2antl1 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) ∈ ℝ)
10934ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ)
11036, 109sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℂ)
111110abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘(𝑓𝑖)) ∈ ℝ)
112111adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘(𝑓𝑖)) ∈ ℝ)
1131123ad2antl1 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘(𝑓𝑖)) ∈ ℝ)
114109renegcld 10495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → -(𝑓𝑖) ∈ ℝ)
115114leabsd 14197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → -(𝑓𝑖) ≤ (abs‘-(𝑓𝑖)))
116110absnegd 14232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘-(𝑓𝑖)) = (abs‘(𝑓𝑖)))
117115, 116breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → -(𝑓𝑖) ≤ (abs‘(𝑓𝑖)))
118117adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → -(𝑓𝑖) ≤ (abs‘(𝑓𝑖)))
1191183ad2antl1 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → -(𝑓𝑖) ≤ (abs‘(𝑓𝑖)))
12029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → ran (abs ∘ 𝑓) ⊆ ℝ)
121106, 66syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ran (abs ∘ 𝑓) ≠ ∅)
1221213ad2antl1 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → ran (abs ∘ 𝑓) ≠ ∅)
123 fimaxre2 11007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((ran (abs ∘ 𝑓) ⊆ ℝ ∧ ran (abs ∘ 𝑓) ∈ Fin) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (abs ∘ 𝑓)𝑧𝑦)
12429, 44, 123sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (abs ∘ 𝑓)𝑧𝑦)
125124adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (abs ∘ 𝑓)𝑧𝑦)
1261253ad2antl1 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (abs ∘ 𝑓)𝑧𝑦)
127 elmapfun 7923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → Fun 𝑓)
128127adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → Fun 𝑓)
129 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
13056eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → 𝑋 = dom 𝑓)
131130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑋 = dom 𝑓)
132129, 131eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖 ∈ dom 𝑓)
133 fvco 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((Fun 𝑓𝑖 ∈ dom 𝑓) → ((abs ∘ 𝑓)‘𝑖) = (abs‘(𝑓𝑖)))
134128, 132, 133syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → ((abs ∘ 𝑓)‘𝑖) = (abs‘(𝑓𝑖)))
135134eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘(𝑓𝑖)) = ((abs ∘ 𝑓)‘𝑖))
136 absfun 39879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Fun abs
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → Fun abs)
138 funco 5966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((Fun abs ∧ Fun 𝑓) → Fun (abs ∘ 𝑓))
139137, 127, 138syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → Fun (abs ∘ 𝑓))
140139adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → Fun (abs ∘ 𝑓))
141110, 49syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ dom abs)
142 dmfco 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((Fun 𝑓𝑖 ∈ dom 𝑓) → (𝑖 ∈ dom (abs ∘ 𝑓) ↔ (𝑓𝑖) ∈ dom abs))
143128, 132, 142syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑖 ∈ dom (abs ∘ 𝑓) ↔ (𝑓𝑖) ∈ dom abs))
144141, 143mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖 ∈ dom (abs ∘ 𝑓))
145 fvelrn 6392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((Fun (abs ∘ 𝑓) ∧ 𝑖 ∈ dom (abs ∘ 𝑓)) → ((abs ∘ 𝑓)‘𝑖) ∈ ran (abs ∘ 𝑓))
146140, 144, 145syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → ((abs ∘ 𝑓)‘𝑖) ∈ ran (abs ∘ 𝑓))
147135, 146eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘(𝑓𝑖)) ∈ ran (abs ∘ 𝑓))
148147adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘(𝑓𝑖)) ∈ ran (abs ∘ 𝑓))
1491483ad2antl1 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘(𝑓𝑖)) ∈ ran (abs ∘ 𝑓))
150 suprub 11022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((ran (abs ∘ 𝑓) ⊆ ℝ ∧ ran (abs ∘ 𝑓) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (abs ∘ 𝑓)𝑧𝑦) ∧ (abs‘(𝑓𝑖)) ∈ ran (abs ∘ 𝑓)) → (abs‘(𝑓𝑖)) ≤ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ))
151120, 122, 126, 149, 150syl31anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘(𝑓𝑖)) ≤ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ))
152102, 113, 108, 119, 151letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → -(𝑓𝑖) ≤ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ))
153 simpl3 1086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗)
154102, 108, 98, 152, 153lelttrd 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → -(𝑓𝑖) < 𝑗)
155102, 98ltnegd 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (-(𝑓𝑖) < 𝑗 ↔ -𝑗 < --(𝑓𝑖)))
156154, 155mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → -𝑗 < --(𝑓𝑖))
15736, 101sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℂ)
158157negnegd 10421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → --(𝑓𝑖) = (𝑓𝑖))
159156, 158breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → -𝑗 < (𝑓𝑖))
16099, 101, 159ltled 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → -𝑗 ≤ (𝑓𝑖))
161101leabsd 14197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ≤ (abs‘(𝑓𝑖)))
162101, 113, 108, 161, 151letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ≤ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ))
163101, 108, 98, 162, 153lelttrd 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) < 𝑗)
16487, 90, 95, 160, 163elicod 12262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ (-𝑗[,)𝑗))
16575, 77, 78, 79, 164syl31anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ (-𝑗[,)𝑗))
166165adantlllr 39513 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ (-𝑗[,)𝑗))
167 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
168 mptexg 6525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑋 ∈ Fin → (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩) ∈ V)
16941, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩) ∈ V)
170169adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩) ∈ V)
171 hoicvr.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐼 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩))
172171fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩) ∈ V) → (𝐼𝑗) = (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩))
173167, 170, 172syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐼𝑗) = (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩))
174173fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐼𝑗)‘𝑖) = ((𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩)‘𝑖))
1751743adant3 1101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐼𝑗)‘𝑖) = ((𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩)‘𝑖))
176 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖𝑋 → (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩) = (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩))
177 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⟨-𝑗, 𝑗⟩ = ⟨-𝑗, 𝑗
178177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖𝑋𝑥 = 𝑖) → ⟨-𝑗, 𝑗⟩ = ⟨-𝑗, 𝑗⟩)
179 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖𝑋𝑖𝑋)
180 opex 4962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⟨-𝑗, 𝑗⟩ ∈ V
181180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖𝑋 → ⟨-𝑗, 𝑗⟩ ∈ V)
182176, 178, 179, 181fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖𝑋 → ((𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩)‘𝑖) = ⟨-𝑗, 𝑗⟩)
1831823ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩)‘𝑖) = ⟨-𝑗, 𝑗⟩)
184175, 183eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐼𝑗)‘𝑖) = ⟨-𝑗, 𝑗⟩)
185184fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → (1st ‘((𝐼𝑗)‘𝑖)) = (1st ‘⟨-𝑗, 𝑗⟩))
186 negex 10317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -𝑗 ∈ V
187 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑗 ∈ V
188186, 187op1st 7218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1st ‘⟨-𝑗, 𝑗⟩) = -𝑗
189188a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → (1st ‘⟨-𝑗, 𝑗⟩) = -𝑗)
190185, 189eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → (1st ‘((𝐼𝑗)‘𝑖)) = -𝑗)
191184fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → (2nd ‘((𝐼𝑗)‘𝑖)) = (2nd ‘⟨-𝑗, 𝑗⟩))
192186, 187op2nd 7219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2nd ‘⟨-𝑗, 𝑗⟩) = 𝑗
193192a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → (2nd ‘⟨-𝑗, 𝑗⟩) = 𝑗)
194191, 193eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → (2nd ‘((𝐼𝑗)‘𝑖)) = 𝑗)
195190, 194oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → ((1st ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))[,)(2nd ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))) = (-𝑗[,)𝑗))
196195eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → (-𝑗[,)𝑗) = ((1st ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))[,)(2nd ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))))
1971963adant1r 1359 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → (-𝑗[,)𝑗) = ((1st ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))[,)(2nd ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))))
198197ad5ant135 1354 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (-𝑗[,)𝑗) = ((1st ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))[,)(2nd ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))))
199166, 198eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ((1st ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))[,)(2nd ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))))
20081, 84sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → -𝑗 ∈ ℝ)
201 opelxpi 5182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ⟨-𝑗, 𝑗⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
202200, 96, 201syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → ⟨-𝑗, 𝑗⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
203202ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝑋) → ⟨-𝑗, 𝑗⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
204 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩) = (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩)
205203, 204fmptd 6425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩):𝑋⟶(ℝ × ℝ))
206173feq1d 6068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐼𝑗):𝑋⟶(ℝ × ℝ) ↔ (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩):𝑋⟶(ℝ × ℝ)))
207205, 206mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐼𝑗):𝑋⟶(ℝ × ℝ))
208207ad4ant14 1317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐼𝑗):𝑋⟶(ℝ × ℝ))
209208ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐼𝑗):𝑋⟶(ℝ × ℝ))
210 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
211209, 210fvovco 39695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖) = ((1st ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))[,)(2nd ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))))
212211eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → ((1st ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))[,)(2nd ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))) = (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
213199, 212eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
214213ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) → ∀𝑖𝑋 (𝑓𝑖) ∈ (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
21574, 214jca 553 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) → (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑓𝑖) ∈ (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖)))
216 vex 3234 . . . . . . . . . . 11 𝑓 ∈ V
217216elixp 7957 . . . . . . . . . 10 (𝑓X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖) ↔ (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑓𝑖) ∈ (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖)))
218215, 217sylibr 224 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) → 𝑓X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
219218ex 449 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗𝑓X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖)))
220219reximdva 3046 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → (∃𝑗 ∈ ℕ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗 → ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑓X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖)))
22171, 220mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑓X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
22222, 23, 24, 221syl21anc 1365 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑓X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
223 eliun 4556 . . . . 5 (𝑓 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑓X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
224222, 223sylibr 224 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
225224ralrimiva 2995 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∀𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)𝑓 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
226 dfss3 3625 . . 3 ((ℝ ↑𝑚 𝑋) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖) ↔ ∀𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)𝑓 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
227225, 226sylibr 224 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → (ℝ ↑𝑚 𝑋) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
22821, 227pm2.61dan 849 1 (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝑋) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948  {csn 4210  cop 4216   ciun 4552   class class class wbr 4685  cmpt 4762   Or wor 5063   × cxp 5141  dom cdm 5143  ran crn 5144  ccom 5147  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  1st c1st 7208  2nd c2nd 7209  𝑚 cmap 7899  Xcixp 7950  Fincfn 7997  supcsup 8387  cc 9972  cr 9973  1c1 9975  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  -cneg 10305  cn 11058  cz 11415  [,)cico 12215  abscabs 14018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020
This theorem is referenced by:  hoicvrrex  41091
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