HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hoeq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoeq2 28674
Description: A condition implying that two Hilbert space operators are equal. Lemma 3.2(S11) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hoeq2 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ 𝑆 = 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑆   𝑥,𝑇,𝑦

Proof of Theorem hoeq2
StepHypRef Expression
1 ralcom 3096 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)))
21a1i 11 . 2 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦))))
3 ffvelrn 6355 . . . . 5 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑆𝑦) ∈ ℋ)
4 ffvelrn 6355 . . . . 5 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
5 hial2eq2 27948 . . . . . 6 (((𝑆𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ (𝑆𝑦) = (𝑇𝑦)))
6 hial2eq 27947 . . . . . 6 (((𝑆𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥) ↔ (𝑆𝑦) = (𝑇𝑦)))
75, 6bitr4d 271 . . . . 5 (((𝑆𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥)))
83, 4, 7syl2an 494 . . . 4 (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥)))
98anandirs 874 . . 3 (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥)))
109ralbidva 2984 . 2 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥)))
11 hoeq1 28673 . 2 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥) ↔ 𝑆 = 𝑇))
122, 10, 113bitrd 294 1 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ 𝑆 = 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  wral 2911  wf 5882  cfv 5886  (class class class)co 6647  chil 27760   ·ih csp 27763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-hfvadd 27841  ax-hvcom 27842  ax-hvass 27843  ax-hv0cl 27844  ax-hvaddid 27845  ax-hfvmul 27846  ax-hvmulid 27847  ax-hvdistr2 27850  ax-hvmul0 27851  ax-hfi 27920  ax-his1 27923  ax-his2 27924  ax-his3 27925  ax-his4 27926
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-po 5033  df-so 5034  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-2 11076  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-hvsub 27812
This theorem is referenced by:  adjcoi  28943
  Copyright terms: Public domain W3C validator