Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hoeq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoeq2 29024
 Description: A condition implying that two Hilbert space operators are equal. Lemma 3.2(S11) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hoeq2 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ 𝑆 = 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑆   𝑥,𝑇,𝑦

Proof of Theorem hoeq2
StepHypRef Expression
1 ralcom 3245 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)))
21a1i 11 . 2 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦))))
3 ffvelrn 6500 . . . . 5 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑆𝑦) ∈ ℋ)
4 ffvelrn 6500 . . . . 5 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
5 hial2eq2 28298 . . . . . 6 (((𝑆𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ (𝑆𝑦) = (𝑇𝑦)))
6 hial2eq 28297 . . . . . 6 (((𝑆𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥) ↔ (𝑆𝑦) = (𝑇𝑦)))
75, 6bitr4d 271 . . . . 5 (((𝑆𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥)))
83, 4, 7syl2an 575 . . . 4 (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥)))
98anandirs 650 . . 3 (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥)))
109ralbidva 3133 . 2 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥)))
11 hoeq1 29023 . 2 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑦) ·ih 𝑥) = ((𝑇𝑦) ·ih 𝑥) ↔ 𝑆 = 𝑇))
122, 10, 113bitrd 294 1 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ↔ 𝑆 = 𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ∀wral 3060  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792   ℋchil 28110   ·ih csp 28113 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-hfvadd 28191  ax-hvcom 28192  ax-hvass 28193  ax-hv0cl 28194  ax-hvaddid 28195  ax-hfvmul 28196  ax-hvmulid 28197  ax-hvdistr2 28200  ax-hvmul0 28201  ax-hfi 28270  ax-his1 28273  ax-his2 28274  ax-his3 28275  ax-his4 28276 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-2 11280  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-hvsub 28162 This theorem is referenced by:  adjcoi  29293
 Copyright terms: Public domain W3C validator