HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hocsubdiri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hocsubdiri 28996
Description: Distributive law for Hilbert space operator difference. (Contributed by NM, 26-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hods.1 𝑅: ℋ⟶ ℋ
hods.2 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hods.3 𝑇: ℋ⟶ ℋ
Assertion
Ref Expression
hocsubdiri ((𝑅op 𝑆) ∘ 𝑇) = ((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇))

Proof of Theorem hocsubdiri
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hods.1 . . . . . 6 𝑅: ℋ⟶ ℋ
2 hods.2 . . . . . 6 𝑆: ℋ⟶ ℋ
31, 2hosubcli 28985 . . . . 5 (𝑅op 𝑆): ℋ⟶ ℋ
4 hods.3 . . . . 5 𝑇: ℋ⟶ ℋ
53, 4hocoi 28980 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅op 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((𝑅op 𝑆)‘(𝑇𝑥)))
61, 4hocofi 28982 . . . . . 6 (𝑅𝑇): ℋ⟶ ℋ
72, 4hocofi 28982 . . . . . 6 (𝑆𝑇): ℋ⟶ ℋ
8 hodval 28958 . . . . . 6 (((𝑅𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑆𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇))‘𝑥) = (((𝑅𝑇)‘𝑥) − ((𝑆𝑇)‘𝑥)))
96, 7, 8mp3an12 1565 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇))‘𝑥) = (((𝑅𝑇)‘𝑥) − ((𝑆𝑇)‘𝑥)))
104ffvelrni 6518 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
11 hodval 28958 . . . . . . . 8 ((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → ((𝑅op 𝑆)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑅‘(𝑇𝑥)) − (𝑆‘(𝑇𝑥))))
121, 2, 11mp3an12 1565 . . . . . . 7 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → ((𝑅op 𝑆)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑅‘(𝑇𝑥)) − (𝑆‘(𝑇𝑥))))
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅op 𝑆)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑅‘(𝑇𝑥)) − (𝑆‘(𝑇𝑥))))
141, 4hocoi 28980 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅𝑇)‘𝑥) = (𝑅‘(𝑇𝑥)))
152, 4hocoi 28980 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇𝑥)))
1614, 15oveq12d 6830 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅𝑇)‘𝑥) − ((𝑆𝑇)‘𝑥)) = ((𝑅‘(𝑇𝑥)) − (𝑆‘(𝑇𝑥))))
1713, 16eqtr4d 2811 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅op 𝑆)‘(𝑇𝑥)) = (((𝑅𝑇)‘𝑥) − ((𝑆𝑇)‘𝑥)))
189, 17eqtr4d 2811 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇))‘𝑥) = ((𝑅op 𝑆)‘(𝑇𝑥)))
195, 18eqtr4d 2811 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅op 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝑥) = (((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇))‘𝑥))
2019rgen 3074 . 2 𝑥 ∈ ℋ (((𝑅op 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝑥) = (((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇))‘𝑥)
213, 4hocofi 28982 . . 3 ((𝑅op 𝑆) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
226, 7hosubcli 28985 . . 3 ((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇)): ℋ⟶ ℋ
2321, 22hoeqi 28977 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ (((𝑅op 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝑥) = (((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇))‘𝑥) ↔ ((𝑅op 𝑆) ∘ 𝑇) = ((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇)))
2420, 23mpbi 221 1 ((𝑅op 𝑆) ∘ 𝑇) = ((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1634  wcel 2148  wral 3064  ccom 5267  wf 6038  cfv 6042  (class class class)co 6812  chil 28133   cmv 28139  op chod 28154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-rep 4917  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-hilex 28213  ax-hfvadd 28214  ax-hfvmul 28219
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-op 4333  df-uni 4586  df-iun 4667  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-id 5171  df-po 5184  df-so 5185  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-er 7917  df-map 8032  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-ltxr 10302  df-sub 10491  df-neg 10492  df-hvsub 28185  df-hodif 28948
This theorem is referenced by:  hocsubdir  29001  unierri  29320  pjclem3  29413
  Copyright terms: Public domain W3C validator