HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hoaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoaddcl 28957
Description: The sum of Hilbert space operators is an operator. (Contributed by NM, 21-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hoaddcl ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)

Proof of Theorem hoaddcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 6500 . . . . 5 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆𝑥) ∈ ℋ)
21adantlr 694 . . . 4 (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆𝑥) ∈ ℋ)
3 ffvelrn 6500 . . . . 5 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
43adantll 693 . . . 4 (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
5 hvaddcl 28209 . . . 4 (((𝑆𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
62, 4, 5syl2anc 573 . . 3 (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
7 eqid 2771 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)))
86, 7fmptd 6527 . 2 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥))): ℋ⟶ ℋ)
9 hosmval 28934 . . 3 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 +op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥))))
109feq1d 6170 . 2 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ↔ (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥))): ℋ⟶ ℋ))
118, 10mpbird 247 1 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145  cmpt 4863  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  chil 28116   + cva 28117   +op chos 28135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-hilex 28196  ax-hfvadd 28197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-map 8011  df-hosum 28929
This theorem is referenced by:  hoaddcli  28967  hoadd4  28983  hoadddi  29002  hoadddir  29003  hosub4  29012  hoaddsubass  29014  ho2times  29018  hmops  29219  adjadd  29292  opsqrlem6  29344
  Copyright terms: Public domain W3C validator