MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmph0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmph0 21818
Description: A topology homeomorphic to the empty set is empty. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmph0 (𝐽 ≃ {∅} ↔ 𝐽 = {∅})

Proof of Theorem hmph0
StepHypRef Expression
1 hmphen 21808 . . . 4 (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 ≈ {∅})
2 df1o2 7725 . . . 4 1𝑜 = {∅}
31, 2syl6breqr 4826 . . 3 (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 ≈ 1𝑜)
4 hmphtop1 21802 . . . 4 (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 ∈ Top)
5 en1top 21008 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1𝑜𝐽 = {∅}))
64, 5syl 17 . . 3 (𝐽 ≃ {∅} → (𝐽 ≈ 1𝑜𝐽 = {∅}))
73, 6mpbid 222 . 2 (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 = {∅})
8 id 22 . . 3 (𝐽 = {∅} → 𝐽 = {∅})
9 sn0top 21023 . . . 4 {∅} ∈ Top
10 hmphref 21804 . . . 4 ({∅} ∈ Top → {∅} ≃ {∅})
119, 10ax-mp 5 . . 3 {∅} ≃ {∅}
128, 11syl6eqbr 4823 . 2 (𝐽 = {∅} → 𝐽 ≃ {∅})
137, 12impbii 199 1 (𝐽 ≃ {∅} ↔ 𝐽 = {∅})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196   = wceq 1630  wcel 2144  c0 4061  {csn 4314   class class class wbr 4784  1𝑜c1o 7705  cen 8105  Topctop 20917  chmph 21777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-1o 7712  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-top 20918  df-topon 20935  df-cn 21251  df-hmeo 21778  df-hmph 21779
This theorem is referenced by:  hmphindis  21820
  Copyright terms: Public domain W3C validator