Theorem hmph0 21818

Description: A topology homeomorphic to the empty set is empty. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmph0	⊢ (𝐽 ≃ {∅} ↔ 𝐽 = {∅})

Proof of Theorem hmph0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmphen 21808	. . . 4 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 ≈ {∅})
2		df1o2 7725	. . . 4 ⊢ 1𝑜 = {∅}
3	1, 2	syl6breqr 4826	. . 3 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 ≈ 1𝑜)
4		hmphtop1 21802	. . . 4 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 ∈ Top)
5		en1top 21008	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1𝑜 ↔ 𝐽 = {∅}))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → (𝐽 ≈ 1𝑜 ↔ 𝐽 = {∅}))
7	3, 6	mpbid 222	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 = {∅})
8		id 22	. . 3 ⊢ (𝐽 = {∅} → 𝐽 = {∅})
9		sn0top 21023	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Top
10		hmphref 21804	. . . 4 ⊢ ({∅} ∈ Top → {∅} ≃ {∅})
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {∅} ≃ {∅}
12	8, 11	syl6eqbr 4823	. 2 ⊢ (𝐽 = {∅} → 𝐽 ≃ {∅})
13	7, 12	impbii 199	1 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} ↔ 𝐽 = {∅})

Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ∅c0 4061  {csn 4314   class class class wbr 4784  1_𝑜c1o 7705   ≈ cen 8105  Topctop 20917   ≃ chmph 21777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-1o 7712  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-top 20918  df-topon 20935  df-cn 21251  df-hmeo 21778  df-hmph 21779

This theorem is referenced by:  hmphindis  21820