HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopadj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmopadj2 29140
Description: An operator is Hermitian iff it is self-adjoint. Definition of Hermitian in [Halmos] p. 41. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmopadj2 (𝑇 ∈ dom adj → (𝑇 ∈ HrmOp ↔ (adj𝑇) = 𝑇))

Proof of Theorem hmopadj2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopadj 29138 . 2 (𝑇 ∈ HrmOp → (adj𝑇) = 𝑇)
2 dmadjop 29087 . . . . 5 (𝑇 ∈ dom adj𝑇: ℋ⟶ ℋ)
32adantr 466 . . . 4 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ (adj𝑇) = 𝑇) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
4 adj1 29132 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = (((adj𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦))
543expb 1113 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = (((adj𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦))
65adantlr 694 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ dom adj ∧ (adj𝑇) = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = (((adj𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦))
7 fveq1 6331 . . . . . . . 8 ((adj𝑇) = 𝑇 → ((adj𝑇)‘𝑥) = (𝑇𝑥))
87oveq1d 6808 . . . . . . 7 ((adj𝑇) = 𝑇 → (((adj𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦))
98ad2antlr 706 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ dom adj ∧ (adj𝑇) = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((adj𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦))
106, 9eqtrd 2805 . . . . 5 (((𝑇 ∈ dom adj ∧ (adj𝑇) = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦))
1110ralrimivva 3120 . . . 4 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ (adj𝑇) = 𝑇) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦))
12 elhmop 29072 . . . 4 (𝑇 ∈ HrmOp ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)))
133, 11, 12sylanbrc 572 . . 3 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ (adj𝑇) = 𝑇) → 𝑇 ∈ HrmOp)
1413ex 397 . 2 (𝑇 ∈ dom adj → ((adj𝑇) = 𝑇𝑇 ∈ HrmOp))
151, 14impbid2 216 1 (𝑇 ∈ dom adj → (𝑇 ∈ HrmOp ↔ (adj𝑇) = 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  dom cdm 5249  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  chil 28116   ·ih csp 28119  HrmOpcho 28147  adjcado 28152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-hilex 28196  ax-hfvadd 28197  ax-hvcom 28198  ax-hvass 28199  ax-hv0cl 28200  ax-hvaddid 28201  ax-hfvmul 28202  ax-hvmulid 28203  ax-hvdistr2 28206  ax-hvmul0 28207  ax-hfi 28276  ax-his1 28279  ax-his2 28280  ax-his3 28281  ax-his4 28282
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-2 11281  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-hvsub 28168  df-hmop 29043  df-adjh 29048
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator