MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeoqtop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmeoqtop 21800
Description: A homeomorphism is a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmeoqtop (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))

Proof of Theorem hmeoqtop
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmeocn 21785 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2 cntop2 21267 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
4 eqid 2760 . . . 4 𝐾 = 𝐾
54toptopon 20944 . . 3 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
63, 5sylib 208 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
7 eqid 2760 . . . 4 𝐽 = 𝐽
87, 4hmeof1o 21789 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹: 𝐽1-1-onto 𝐾)
9 f1ofo 6306 . . 3 (𝐹: 𝐽1-1-onto 𝐾𝐹: 𝐽onto 𝐾)
10 forn 6280 . . 3 (𝐹: 𝐽onto 𝐾 → ran 𝐹 = 𝐾)
118, 9, 103syl 18 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ran 𝐹 = 𝐾)
12 hmeoima 21790 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝑥𝐽) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
136, 1, 11, 12qtopomap 21743 1 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139   cuni 4588  ran crn 5267  ontowfo 6047  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049  (class class class)co 6814   qTop cqtop 16385  Topctop 20920  TopOnctopon 20937   Cn ccn 21250  Homeochmeo 21778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-map 8027  df-qtop 16389  df-top 20921  df-topon 20938  df-cn 21253  df-hmeo 21780
This theorem is referenced by:  xpstopnlem2  21836
  Copyright terms: Public domain W3C validator