Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlrelat3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlrelat3 35219
Description: The Hilbert lattice is relatively atomic. Stronger version of hlrelat 35209. (Contributed by NM, 2-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlrelat3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlrelat3.l = (le‘𝐾)
hlrelat3.s < = (lt‘𝐾)
hlrelat3.j = (join‘𝐾)
hlrelat3.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
hlrelat3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlrelat3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   < ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝)   (𝑝)

Proof of Theorem hlrelat3
StepHypRef Expression
1 hlrelat3.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 hlrelat3.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 hlrelat3.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
4 hlrelat3.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
51, 2, 3, 4hlrelat1 35207 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
65imp 444 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌))
7 simp3l 1244 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → ¬ 𝑝 𝑋)
8 simp1l1 1351 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
9 simp1l2 1352 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑋𝐵)
10 simp2 1132 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑝𝐴)
11 hlrelat3.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
12 hlrelat3.c . . . . . . . 8 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
131, 2, 11, 12, 4cvr1 35217 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐴) → (¬ 𝑝 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑝)))
148, 9, 10, 13syl3anc 1477 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → (¬ 𝑝 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑝)))
157, 14mpbid 222 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑝))
16 simp1l 1240 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵))
17 simp1r 1241 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑋 < 𝑌)
182, 3pltle 17182 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌𝑋 𝑌))
1916, 17, 18sylc 65 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑋 𝑌)
20 simp3r 1245 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑝 𝑌)
21 hllat 35171 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
228, 21syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
231, 4atbase 35097 . . . . . . . 8 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
2410, 23syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑝𝐵)
25 simp1l3 1353 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑌𝐵)
261, 2, 11latjle12 17283 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑝𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑝 𝑌) ↔ (𝑋 𝑝) 𝑌))
2722, 9, 24, 25, 26syl13anc 1479 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → ((𝑋 𝑌𝑝 𝑌) ↔ (𝑋 𝑝) 𝑌))
2819, 20, 27mpbi2and 994 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → (𝑋 𝑝) 𝑌)
2915, 28jca 555 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌))
30293exp 1113 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑝𝐴 → ((¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌))))
3130reximdvai 3153 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)))
326, 31mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  lecple 16170  ltcplt 17162  joincjn 17165  Latclat 17266  ccvr 35070  Atomscatm 35071  HLchlt 35158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-lat 17267  df-clat 17329  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159
This theorem is referenced by:  cvrval3  35220  athgt  35263  llnle  35325  lplnle  35347  llncvrlpln2  35364  lplncvrlvol2  35422  lhprelat3N  35847
  Copyright terms: Public domain W3C validator