Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlrelat3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlrelat3 35219
 Description: The Hilbert lattice is relatively atomic. Stronger version of hlrelat 35209. (Contributed by NM, 2-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlrelat3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlrelat3.l = (le‘𝐾)
hlrelat3.s < = (lt‘𝐾)
hlrelat3.j = (join‘𝐾)
hlrelat3.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
hlrelat3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlrelat3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   < ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝)   (𝑝)

Proof of Theorem hlrelat3
StepHypRef Expression
1 hlrelat3.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 hlrelat3.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 hlrelat3.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
4 hlrelat3.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
51, 2, 3, 4hlrelat1 35207 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
65imp 444 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌))
7 simp3l 1244 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → ¬ 𝑝 𝑋)
8 simp1l1 1351 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
9 simp1l2 1352 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑋𝐵)
10 simp2 1132 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑝𝐴)
11 hlrelat3.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
12 hlrelat3.c . . . . . . . 8 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
131, 2, 11, 12, 4cvr1 35217 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐴) → (¬ 𝑝 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑝)))
148, 9, 10, 13syl3anc 1477 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → (¬ 𝑝 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑝)))
157, 14mpbid 222 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑝))
16 simp1l 1240 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵))
17 simp1r 1241 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑋 < 𝑌)
182, 3pltle 17182 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌𝑋 𝑌))
1916, 17, 18sylc 65 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑋 𝑌)
20 simp3r 1245 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑝 𝑌)
21 hllat 35171 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
228, 21syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
231, 4atbase 35097 . . . . . . . 8 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
2410, 23syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑝𝐵)
25 simp1l3 1353 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → 𝑌𝐵)
261, 2, 11latjle12 17283 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑝𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑝 𝑌) ↔ (𝑋 𝑝) 𝑌))
2722, 9, 24, 25, 26syl13anc 1479 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → ((𝑋 𝑌𝑝 𝑌) ↔ (𝑋 𝑝) 𝑌))
2819, 20, 27mpbi2and 994 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → (𝑋 𝑝) 𝑌)
2915, 28jca 555 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌))
30293exp 1113 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑝𝐴 → ((¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌))))
3130reximdvai 3153 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)))
326, 31mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∃wrex 3051   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  lecple 16170  ltcplt 17162  joincjn 17165  Latclat 17266   ⋖ ccvr 35070  Atomscatm 35071  HLchlt 35158 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-lat 17267  df-clat 17329  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159 This theorem is referenced by:  cvrval3  35220  athgt  35263  llnle  35325  lplnle  35347  llncvrlpln2  35364  lplncvrlvol2  35422  lhprelat3N  35847
 Copyright terms: Public domain W3C validator