MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlne1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlne1 25720
Description: The half-line relation implies inequality. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
ishlg.g (𝜑𝐺𝑉)
hlcomd.1 (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
Assertion
Ref Expression
hlne1 (𝜑𝐴𝐶)

Proof of Theorem hlne1
StepHypRef Expression
1 hlcomd.1 . . 3 (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
2 ishlg.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 ishlg.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 ishlg.k . . . 4 𝐾 = (hlG‘𝐺)
5 ishlg.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
6 ishlg.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
7 ishlg.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
8 ishlg.g . . . 4 (𝜑𝐺𝑉)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8ishlg 25717 . . 3 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
101, 9mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
1110simp1d 1137 1 (𝜑𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  Itvcitv 25555  hlGchlg 25715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-hlg 25716
This theorem is referenced by:  hleqnid  25723  hltr  25725  opphllem4  25862  opphl  25866  cgrane1  25924  cgrane2  25925  cgrahl  25938  sacgr  25942  acopy  25944  acopyeu  25945  inaghl  25951
  Copyright terms: Public domain W3C validator