Theorem hlid 25725

Description: The half-line relation is reflexive. Theorem 6.5 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hlid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hlid	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐴)

Proof of Theorem hlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
2		ishlg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
4		ishlg.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		hlln.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		ishlg.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7		ishlg.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	tgbtwntriv2 25603	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
9	8	olcd 863	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
10	1, 1, 9	3jca 1122	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
11		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
12	2, 4, 11, 7, 7, 6, 5	ishlg 25718	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐴 ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
13	10, 12	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 836   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943   class class class wbr 4787  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  distcds 16158  TarskiGcstrkg 25550  Itvcitv 25556  hlGchlg 25716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-trkgc 25568  df-trkgcb 25570  df-trkg 25573  df-hlg 25717

This theorem is referenced by:  opphl  25867  iscgra1  25923  cgraid  25932  cgrcgra  25934  dfcgra2  25942  tgsas1  25956  tgsas2  25958  tgsas3  25959  tgasa1  25960  tgsss1  25962