MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlid 25725
Description: The half-line relation is reflexive. Theorem 6.5 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
hlln.1 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hlid.1 (𝜑𝐴𝐶)
Assertion
Ref Expression
hlid (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐴)

Proof of Theorem hlid
StepHypRef Expression
1 hlid.1 . . 3 (𝜑𝐴𝐶)
2 ishlg.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2771 . . . . 5 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
4 ishlg.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 hlln.1 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
6 ishlg.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
7 ishlg.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
82, 3, 4, 5, 6, 7tgbtwntriv2 25603 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
98olcd 863 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
101, 1, 93jca 1122 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐶𝐴𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
11 ishlg.k . . 3 𝐾 = (hlG‘𝐺)
122, 4, 11, 7, 7, 6, 5ishlg 25718 . 2 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐴 ↔ (𝐴𝐶𝐴𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
1310, 12mpbird 247 1 (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 836  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4787  cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  distcds 16158  TarskiGcstrkg 25550  Itvcitv 25556  hlGchlg 25716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-trkgc 25568  df-trkgcb 25570  df-trkg 25573  df-hlg 25717
This theorem is referenced by:  opphl  25867  iscgra1  25923  cgraid  25932  cgrcgra  25934  dfcgra2  25942  tgsas1  25956  tgsas2  25958  tgsas3  25959  tgasa1  25960  tgsss1  25962
  Copyright terms: Public domain W3C validator