MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlcomd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlcomd 25698
Description: The half-line relation commutes. Theorem 6.6 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
ishlg.g (𝜑𝐺𝑉)
hlcomd.1 (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
Assertion
Ref Expression
hlcomd (𝜑𝐵(𝐾𝐶)𝐴)

Proof of Theorem hlcomd
StepHypRef Expression
1 hlcomd.1 . 2 (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
2 ishlg.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 ishlg.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 ishlg.k . . 3 𝐾 = (hlG‘𝐺)
5 ishlg.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
6 ishlg.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
7 ishlg.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
8 ishlg.g . . 3 (𝜑𝐺𝑉)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8hlcomb 25697 . 2 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵𝐵(𝐾𝐶)𝐴))
101, 9mpbid 222 1 (𝜑𝐵(𝐾𝐶)𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cfv 6049  Basecbs 16059  Itvcitv 25534  hlGchlg 25694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-hlg 25695
This theorem is referenced by:  hlcgreulem  25711  opphllem4  25841  opphllem5  25842  opphl  25845  hlpasch  25847  lnopp2hpgb  25854  colhp  25861  cgrahl1  25907  cgrahl2  25908  cgrahl  25917  cgracol  25918  dfcgra2  25920  sacgr  25921  acopy  25923  acopyeu  25924  inaghl  25930  tgasa1  25938
  Copyright terms: Public domain W3C validator