MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlbtwn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlbtwn 25726
Description: Betweenness is a sufficient condition to swap half-lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
hlln.1 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d (𝜑𝐷𝑃)
hlbtwn.1 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
hlbtwn.2 (𝜑𝐵𝐶)
hlbtwn.3 (𝜑𝐷𝐶)
Assertion
Ref Expression
hlbtwn (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵𝐴(𝐾𝐶)𝐷))

Proof of Theorem hlbtwn
StepHypRef Expression
1 hlbtwn.2 . . . 4 (𝜑𝐵𝐶)
2 hlbtwn.3 . . . 4 (𝜑𝐷𝐶)
31, 22thd 255 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐶𝐷𝐶))
4 ishlg.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
5 ishlg.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 hlln.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 ishlg.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑃)
98adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐶𝑃)
10 ishlg.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑃)
1110adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
12 hltr.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝑃)
1312adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐷𝑃)
14 ishlg.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑃)
1514adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
16 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
17 hlbtwn.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
1817adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
194, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16, 18tgbtwnconn3 25692 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
20 eqid 2760 . . . . . . 7 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
216adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
228adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶𝑃)
2312adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷𝑃)
2414adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵𝑃)
2510adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴𝑃)
2617adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
27 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
284, 20, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27tgbtwnexch 25613 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
2928olcd 407 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
3019, 29jaodan 861 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
316adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
328adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐶𝑃)
3310adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐴𝑃)
3412adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐷𝑃)
3514adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐵𝑃)
36 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
3717adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
384, 20, 5, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37tgbtwnexch 25613 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
3938orcd 406 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
406adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
418adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶𝑃)
4212adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷𝑃)
4310adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴𝑃)
4414adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵𝑃)
452necomd 2987 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐷)
4645adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶𝐷)
47 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
4817adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
494, 5, 40, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 48tgbtwnconn1 25690 . . . . 5 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
5039, 49jaodan 861 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
5130, 50impbida 913 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
523, 513anbi23d 1551 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) ↔ (𝐴𝐶𝐷𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
53 ishlg.k . . 3 𝐾 = (hlG‘𝐺)
544, 5, 53, 10, 14, 8, 6ishlg 25717 . 2 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
554, 5, 53, 10, 12, 8, 6ishlg 25717 . 2 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐷 ↔ (𝐴𝐶𝐷𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
5652, 54, 553bitr4d 300 1 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵𝐴(𝐾𝐶)𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  distcds 16172  TarskiGcstrkg 25549  Itvcitv 25555  hlGchlg 25715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505  df-concat 13507  df-s1 13508  df-s2 13813  df-s3 13814  df-trkgc 25567  df-trkgb 25568  df-trkgcb 25569  df-trkg 25572  df-cgrg 25626  df-hlg 25716
This theorem is referenced by:  opphllem3  25861  hlpasch  25868
  Copyright terms: Public domain W3C validator