Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatjidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlatjidm 35177
Description: Idempotence of join operation. Frequently-used special case of latjcom 17267 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatjcom.j = (join‘𝐾)
hlatjcom.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlatjidm ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem hlatjidm
StepHypRef Expression
1 hllat 35172 . 2 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2 eqid 2771 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 hlatjcom.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3atbase 35098 . 2 (𝑋𝐴𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5 hlatjcom.j . . 3 = (join‘𝐾)
62, 5latjidm 17282 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑋) = 𝑋)
71, 4, 6syl2an 583 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  joincjn 17152  Latclat 17253  Atomscatm 35072  HLchlt 35159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-preset 17136  df-poset 17154  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-lat 17254  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160
This theorem is referenced by:  atcvr0eq  35234  lnnat  35235  atcvrj0  35236  atltcvr  35243  3dim2  35276  3dim3  35277  islln2a  35325  2at0mat0  35333  lplnnle2at  35349  lplnnleat  35350  islpln2a  35356  lvolnle3at  35390  lvolnleat  35391  lvolnlelln  35392  2atnelvolN  35395  islvol2aN  35400  dalempnes  35459  dalemqnet  35460  2llnma3r  35596  dalawlem12  35690  4atex2-0aOLDN  35886  idltrn  35958  trl0  35979  trlval3  35996  cdleme3b  36038  cdleme11h  36075  cdleme16c  36089  cdleme18b  36101  cdleme20j  36127  cdleme42ke  36294  cdleme50trn3  36362  cdlemb3  36415  cdlemg8a  36436  trlcone  36537  dia2dimlem13  36886
  Copyright terms: Public domain W3C validator