Theorem hlatjcom 35176

Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 17267 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcom	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 35172	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2771	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 35098	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 35098	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcom 17267	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1163	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  joincjn 17152  Latclat 17253  Atomscatm 35072  HLchlt 35159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-lub 17182  df-join 17184  df-lat 17254  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160

This theorem is referenced by:  hlatj12  35179  hlatjrot  35181  hlatlej2  35184  atbtwnex  35256  3noncolr2  35257  hlatcon2  35260  3dimlem2  35267  3dimlem3  35269  3dimlem3OLDN  35270  3dimlem4  35272  3dimlem4OLDN  35273  ps-1  35285  hlatexch4  35289  lplnribN  35359  4atlem10  35414  4atlem11  35417  dalemswapyz  35464  dalem-cly  35479  dalemswapyzps  35498  dalem24  35505  dalem25  35506  dalem44  35524  2llnma1  35595  2llnma3r  35596  2llnma2rN  35598  llnexchb2  35677  dalawlem4  35682  dalawlem5  35683  dalawlem9  35687  dalawlem11  35689  dalawlem12  35690  dalawlem15  35693  4atexlemex2  35879  4atexlemcnd  35880  ltrncnv  35954  trlcnv  35974  cdlemc6  36005  cdleme7aa  36051  cdleme12  36080  cdleme15a  36083  cdleme15c  36085  cdleme17c  36097  cdlemeda  36107  cdleme19a  36112  cdleme19e  36116  cdleme20bN  36119  cdleme20g  36124  cdleme20m  36132  cdleme21c  36136  cdleme22f  36155  cdleme22g  36157  cdleme35b  36259  cdleme35f  36263  cdleme37m  36271  cdleme39a  36274  cdleme42h  36291  cdleme43aN  36298  cdleme43bN  36299  cdleme43dN  36301  cdleme46f2g2  36302  cdleme46f2g1  36303  cdlemeg46c  36322  cdlemeg46nlpq  36326  cdlemeg46ngfr  36327  cdlemeg46rgv  36337  cdlemeg46gfv  36339  cdlemg2kq  36411  cdlemg4a  36417  cdlemg4d  36422  cdlemg4  36426  cdlemg8c  36438  cdlemg11aq  36447  cdlemg10a  36449  cdlemg12g  36458  cdlemg12  36459  cdlemg13  36461  cdlemg17pq  36481  cdlemg18b  36488  cdlemg18c  36489  cdlemg19  36493  cdlemg21  36495  cdlemk7  36657  cdlemk7u  36679  cdlemkfid1N  36730  dia2dimlem1  36874  dia2dimlem3  36876  dihjatcclem3  37230  dihjat  37233