Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hl2at Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hl2at 35213
Description: A Hilbert lattice has at least 2 atoms. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
hl2atom.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hl2at (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 𝑝𝑞)
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐾,𝑝,𝑞

Proof of Theorem hl2at
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 eqid 2771 . . 3 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3 eqid 2771 . . 3 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4 eqid 2771 . . 3 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
51, 2, 3, 4hlhgt2 35197 . 2 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))
6 simpl 468 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
7 hlop 35171 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
87adantr 466 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
91, 3op0cl 34993 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
11 simpr 471 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
12 eqid 2771 . . . . . . 7 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13 hl2atom.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
141, 12, 2, 13hlrelat1 35208 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 → ∃𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)))
156, 10, 11, 14syl3anc 1476 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 → ∃𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)))
161, 4op1cl 34994 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
178, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
181, 12, 2, 13hlrelat1 35208 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) → ∃𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑥𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))))
1917, 18mpd3an3 1573 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) → ∃𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑥𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))))
2015, 19anim12d 596 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (∃𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ ∃𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑥𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾)))))
21 reeanv 3255 . . . . 5 (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))) ↔ (∃𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ ∃𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑥𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))))
22 nbrne2 4806 . . . . . . . 8 ((𝑝(le‘𝐾)𝑥 ∧ ¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥) → 𝑝𝑞)
2322ad2ant2lr 742 . . . . . . 7 (((¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))) → 𝑝𝑞)
2423reximi 3159 . . . . . 6 (∃𝑞𝐴 ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑞𝐴 𝑝𝑞)
2524reximi 3159 . . . . 5 (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 𝑝𝑞)
2621, 25sylbir 225 . . . 4 ((∃𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ ∃𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑥𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 𝑝𝑞)
2720, 26syl6 35 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 𝑝𝑞))
2827rexlimdva 3179 . 2 (𝐾 ∈ HL → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 𝑝𝑞))
295, 28mpd 15 1 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 𝑝𝑞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062   class class class wbr 4786  cfv 6031  Basecbs 16064  lecple 16156  ltcplt 17149  0.cp0 17245  1.cp1 17246  OPcops 34981  Atomscatm 35072  HLchlt 35159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160
This theorem is referenced by:  atex  35214
  Copyright terms: Public domain W3C validator