HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hisubcomi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hisubcomi 28292
Description: Two vector subtractions simultaneously commute in an inner product. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hisubcom.1 𝐴 ∈ ℋ
hisubcom.2 𝐵 ∈ ℋ
hisubcom.3 𝐶 ∈ ℋ
hisubcom.4 𝐷 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
hisubcomi ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷)) = ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))

Proof of Theorem hisubcomi
StepHypRef Expression
1 hisubcom.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℋ
2 hisubcom.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
31, 2hvnegdii 28250 . . 3 (-1 · (𝐵 𝐴)) = (𝐴 𝐵)
4 hisubcom.4 . . . 4 𝐷 ∈ ℋ
5 hisubcom.3 . . . 4 𝐶 ∈ ℋ
64, 5hvnegdii 28250 . . 3 (-1 · (𝐷 𝐶)) = (𝐶 𝐷)
73, 6oveq12i 6827 . 2 ((-1 · (𝐵 𝐴)) ·ih (-1 · (𝐷 𝐶))) = ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷))
8 neg1cn 11337 . . . 4 -1 ∈ ℂ
91, 2hvsubcli 28209 . . . 4 (𝐵 𝐴) ∈ ℋ
104, 5hvsubcli 28209 . . . 4 (𝐷 𝐶) ∈ ℋ
118, 8, 9, 10his35i 28277 . . 3 ((-1 · (𝐵 𝐴)) ·ih (-1 · (𝐷 𝐶))) = ((-1 · (∗‘-1)) · ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶)))
12 neg1rr 11338 . . . . . . 7 -1 ∈ ℝ
13 cjre 14099 . . . . . . 7 (-1 ∈ ℝ → (∗‘-1) = -1)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . 6 (∗‘-1) = -1
1514oveq2i 6826 . . . . 5 (-1 · (∗‘-1)) = (-1 · -1)
16 ax-1cn 10207 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
1716, 16mul2negi 10691 . . . . 5 (-1 · -1) = (1 · 1)
18 1t1e1 11388 . . . . 5 (1 · 1) = 1
1915, 17, 183eqtri 2787 . . . 4 (-1 · (∗‘-1)) = 1
2019oveq1i 6825 . . 3 ((-1 · (∗‘-1)) · ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))) = (1 · ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶)))
219, 10hicli 28269 . . . 4 ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶)) ∈ ℂ
2221mulid2i 10256 . . 3 (1 · ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))) = ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))
2311, 20, 223eqtri 2787 . 2 ((-1 · (𝐵 𝐴)) ·ih (-1 · (𝐷 𝐶))) = ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))
247, 23eqtr3i 2785 1 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷)) = ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  wcel 2140  cfv 6050  (class class class)co 6815  cr 10148  1c1 10150   · cmul 10154  -cneg 10480  ccj 14056  chil 28107   · csm 28109   ·ih csp 28110   cmv 28113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-hfvadd 28188  ax-hvcom 28189  ax-hfvmul 28193  ax-hvmulid 28194  ax-hvmulass 28195  ax-hvdistr1 28196  ax-hfi 28267  ax-his1 28270  ax-his3 28272
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-2 11292  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-hvsub 28159
This theorem is referenced by:  lnophmlem2  29207
  Copyright terms: Public domain W3C validator