HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  his2sub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem his2sub2 28290
Description: Distributive law for inner product of vector subtraction. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
his2sub2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐴 ·ih 𝐶)))

Proof of Theorem his2sub2
StepHypRef Expression
1 his2sub 28289 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴) = ((𝐵 ·ih 𝐴) − (𝐶 ·ih 𝐴)))
21fveq2d 6336 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (∗‘((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴)) = (∗‘((𝐵 ·ih 𝐴) − (𝐶 ·ih 𝐴))))
3 hicl 28277 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
4 hicl 28277 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐶 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
5 cjsub 14097 . . . . . 6 (((𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ·ih 𝐴) ∈ ℂ) → (∗‘((𝐵 ·ih 𝐴) − (𝐶 ·ih 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) − (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
63, 4, 5syl2an 583 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ)) → (∗‘((𝐵 ·ih 𝐴) − (𝐶 ·ih 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) − (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
763impdir 1444 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (∗‘((𝐵 ·ih 𝐴) − (𝐶 ·ih 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) − (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
82, 7eqtrd 2805 . . 3 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (∗‘((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) − (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
983comr 1119 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (∗‘((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) − (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
10 hvsubcl 28214 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 𝐶) ∈ ℋ)
11 ax-his1 28279 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 𝐶) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 𝐶)) = (∗‘((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴)))
1210, 11sylan2 580 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → (𝐴 ·ih (𝐵 𝐶)) = (∗‘((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴)))
13123impb 1107 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 𝐶)) = (∗‘((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴)))
14 ax-his1 28279 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)))
15143adant3 1126 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)))
16 ax-his1 28279 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐶) = (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴)))
17163adant2 1125 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐶) = (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴)))
1815, 17oveq12d 6811 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐴 ·ih 𝐶)) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) − (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
199, 13, 183eqtr4d 2815 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐴 ·ih 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cmin 10468  ccj 14044  chil 28116   ·ih csp 28119   cmv 28122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-hfvadd 28197  ax-hfvmul 28202  ax-hfi 28276  ax-his1 28279  ax-his2 28280  ax-his3 28281
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-2 11281  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-hvsub 28168
This theorem is referenced by:  pjhthlem1  28590  riesz4i  29262
  Copyright terms: Public domain W3C validator