Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hilid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hilid 28348
 Description: The group identity element of Hilbert space vector addition is the zero vector. (Contributed by NM, 16-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hilid (GId‘ + ) = 0

Proof of Theorem hilid
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hilablo 28347 . . . 4 + ∈ AbelOp
2 ablogrpo 27731 . . . 4 ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
31, 2ax-mp 5 . . 3 + ∈ GrpOp
4 ax-hfvadd 28187 . . . . . 6 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
54fdmi 6213 . . . . 5 dom + = ( ℋ × ℋ)
63, 5grporn 27705 . . . 4 ℋ = ran +
7 eqid 2760 . . . 4 (GId‘ + ) = (GId‘ + )
86, 7grpoidval 27697 . . 3 ( + ∈ GrpOp → (GId‘ + ) = (𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥))
93, 8ax-mp 5 . 2 (GId‘ + ) = (𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥)
10 hvaddid2 28210 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
1110rgen 3060 . . 3 𝑥 ∈ ℋ (0 + 𝑥) = 𝑥
12 ax-hv0cl 28190 . . . 4 0 ∈ ℋ
136grpoideu 27693 . . . . 5 ( + ∈ GrpOp → ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥)
143, 13ax-mp 5 . . . 4 ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥
15 oveq1 6821 . . . . . . 7 (𝑦 = 0 → (𝑦 + 𝑥) = (0 + 𝑥))
1615eqeq1d 2762 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → ((𝑦 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (0 + 𝑥) = 𝑥))
1716ralbidv 3124 . . . . 5 (𝑦 = 0 → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (0 + 𝑥) = 𝑥))
1817riota2 6797 . . . 4 ((0 ∈ ℋ ∧ ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) → (∀𝑥 ∈ ℋ (0 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) = 0))
1912, 14, 18mp2an 710 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℋ (0 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) = 0)
2011, 19mpbi 220 . 2 (𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) = 0
219, 20eqtri 2782 1 (GId‘ + ) = 0
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ∃!wreu 3052   × cxp 5264  ‘cfv 6049  ℩crio 6774  (class class class)co 6814  GrpOpcgr 27673  GIdcgi 27674  AbelOpcablo 27728   ℋchil 28106   +ℎ cva 28107  0ℎc0v 28111 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-hilex 28186  ax-hfvadd 28187  ax-hvcom 28188  ax-hvass 28189  ax-hv0cl 28190  ax-hvaddid 28191  ax-hfvmul 28192  ax-hvmulid 28193  ax-hvdistr2 28196  ax-hvmul0 28197 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-ltxr 10291  df-sub 10480  df-neg 10481  df-grpo 27677  df-gid 27678  df-ablo 27729  df-hvsub 28158 This theorem is referenced by:  hhnv  28352  hh0v  28355  hhssabloilem  28448
 Copyright terms: Public domain W3C validator