Theorem hilbert1.1 32588

Description: There is a line through any two distinct points. Hilbert's axiom I.1 for geometry. (Contributed by Scott Fenton, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hilbert1.1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → ∃𝑥 ∈ LinesEE (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem hilbert1.1

Dummy variables 𝑛 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
2		simp2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
3		simp3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ≠ 𝑄)
4		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑄))
5		neeq1 2994	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ≠ 𝑞 ↔ 𝑃 ≠ 𝑞))
6		oveq1 6821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝Line𝑞) = (𝑃Line𝑞))
7	6	eqeq2d 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞) ↔ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑞)))
8	5, 7	anbi12d 749	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)) ↔ (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑞))))
9		neeq2 2995	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑃 ≠ 𝑞 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))
10		oveq2 6822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑃Line𝑞) = (𝑃Line𝑄))
11	10	eqeq2d 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑞) ↔ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑄)))
12	9, 11	anbi12d 749	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑞)) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑄))))
13	8, 12	rspc2ev 3463	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑄))) → ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)))
14	1, 2, 3, 4, 13	syl112anc 1481	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)))
15		fveq2 6353	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝔼‘𝑛) = (𝔼‘𝑁))
16	15	rexeqdv 3284	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑛)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)) ↔ ∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞))))
17	15, 16	rexeqbidv 3292	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑛)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑛)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞))))
18	17	rspcev 3449	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑛)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑛)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)))
19	14, 18	sylan2 492	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑛)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑛)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)))
20		ellines 32586	. . 3 ⊢ ((𝑃Line𝑄) ∈ LinesEE ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑛)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑛)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)))
21	19, 20	sylibr 224	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → (𝑃Line𝑄) ∈ LinesEE)
22		linerflx1 32583	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑃Line𝑄))
23		linerflx2 32585	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑄 ∈ (𝑃Line𝑄))
24		eleq2 2828	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑃Line𝑄) → (𝑃 ∈ 𝑥 ↔ 𝑃 ∈ (𝑃Line𝑄)))
25		eleq2 2828	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑃Line𝑄) → (𝑄 ∈ 𝑥 ↔ 𝑄 ∈ (𝑃Line𝑄)))
26	24, 25	anbi12d 749	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑃Line𝑄) → ((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃Line𝑄) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃Line𝑄))))
27	26	rspcev 3449	. 2 ⊢ (((𝑃Line𝑄) ∈ LinesEE ∧ (𝑃 ∈ (𝑃Line𝑄) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃Line𝑄))) → ∃𝑥 ∈ LinesEE (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥))
28	21, 22, 23, 27	syl12anc 1475	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → ∃𝑥 ∈ LinesEE (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∃wrex 3051  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℕcn 11232  𝔼cee 25988  Linecline2 32568  LinesEEclines2 32570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-ec 7915  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636  df-ee 25991  df-btwn 25992  df-cgr 25993  df-colinear 32473  df-line2 32571  df-lines2 32573

This theorem is referenced by:  linethrueu  32590