Theorem hilablo 28326

Description: Hilbert space vector addition is an Abelian group operation. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hilablo	⊢ +ℎ ∈ AbelOp

Proof of Theorem hilablo

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 28165	. . 3 ⊢ ℋ ∈ V
2		ax-hfvadd 28166	. . 3 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
3		ax-hvass 28168	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
4		ax-hv0cl 28169	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
5		hvaddid2 28189	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥)
6		neg1cn 11316	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
7		hvmulcl 28179	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
8	6, 7	mpan 708	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
9		ax-hvcom 28167	. . . . 5 ⊢ (((-1 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑥)))
10	8, 9	mpancom 706	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((-1 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑥)))
11		hvnegid 28193	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑥)) = 0ℎ)
12	10, 11	eqtrd 2794	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((-1 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = 0ℎ)
13	1, 2, 3, 4, 5, 8, 12	isgrpoi 27661	. 2 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
14	2	fdmi 6213	. 2 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
15		ax-hvcom 28167	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
16	13, 14, 15	isabloi 27714	1 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp

Syntax hints:   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   × cxp 5264  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  1c1 10129  -cneg 10459  AbelOpcablo 27707   ℋchil 28085   +_ℎ cva 28086   ·_ℎ csm 28087  0_ℎc0v 28090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-hilex 28165  ax-hfvadd 28166  ax-hvcom 28167  ax-hvass 28168  ax-hv0cl 28169  ax-hvaddid 28170  ax-hfvmul 28171  ax-hvmulid 28172  ax-hvdistr2 28175  ax-hvmul0 28176

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-ltxr 10271  df-sub 10460  df-neg 10461  df-grpo 27656  df-ablo 27708  df-hvsub 28137

This theorem is referenced by:  hilid  28327  hilvc  28328  hhnv  28331  hhba  28333  hhph  28344  hhssva  28423  hhsssm  28424  hhssabloilem  28427  hhshsslem1  28433  shsval  28480