Theorem hiidge0 28235

Description: Inner product with self is not negative. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hiidge0	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))

Proof of Theorem hiidge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2.1 432	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 = 0ℎ ∨ 𝐴 = 0ℎ)
2		df-ne 2921	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ ¬ 𝐴 = 0ℎ)
3		ax-his4 28222	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
4	2, 3	sylan2br 494	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐴 = 0ℎ) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
5	4	ex 449	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (¬ 𝐴 = 0ℎ → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴)))
6		oveq1 6808	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) = (0ℎ ·ih 𝐴))
7		hi01 28233	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = 0)
8	6, 7	sylan9eqr 2804	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0ℎ) → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0)
9	8	eqcomd 2754	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0ℎ) → 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))
10	9	ex 449	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → 0 = (𝐴 ·ih 𝐴)))
11	5, 10	orim12d 919	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((¬ 𝐴 = 0ℎ ∨ 𝐴 = 0ℎ) → (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))))
12	1, 11	mpi 20	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴)))
13		0re 10203	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		hiidrcl 28232	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
15		leloe 10287	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴) ↔ (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))))
16	13, 14, 15	sylancr 698	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴) ↔ (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))))
17	12, 16	mpbird 247	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ≠ wne 2920   class class class wbr 4792  (class class class)co 6801  ℝcr 10098  0cc0 10099   < clt 10237   ≤ cle 10238   ℋchil 28056   ·_ih csp 28059  0_ℎc0v 28061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-hv0cl 28140  ax-hvmul0 28147  ax-hfi 28216  ax-his1 28219  ax-his3 28221  ax-his4 28222

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-po 5175  df-so 5176  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-2 11242  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011

This theorem is referenced by:  normlem5  28251  normlem6  28252  normlem7  28253  normf  28260  normge0  28263  normgt0  28264  normsqi  28269  norm-ii-i  28274  norm-iii-i  28276  bcsiALT  28316  pjhthlem1  28530  cnlnadjlem7  29212  branmfn  29244  leopsq  29268  idleop  29270