Theorem hial02 28088

Description: A vector whose inner product is always zero is zero. (Contributed by NM, 28-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hial02	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem hial02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6697	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ·ih 𝐴) = (𝐴 ·ih 𝐴))
2	1	eqeq1d 2653	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ·ih 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
3	2	rspcv 3336	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = 0 → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
4		his6 28084	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))
5	3, 4	sylibd 229	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = 0 → 𝐴 = 0ℎ))
6		oveq2 6698	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝑥 ·ih 𝐴) = (𝑥 ·ih 0ℎ))
7		hi02 28082	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ·ih 0ℎ) = 0)
8	6, 7	sylan9eq 2705	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0ℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐴) = 0)
9	8	ex 449	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ·ih 𝐴) = 0))
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ·ih 𝐴) = 0)))
11	10	ralrimdv 2997	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = 0))
12	5, 11	impbid 202	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  (class class class)co 6690  0cc0 9974   ℋchil 27904   ·_ih csp 27907  0_ℎc0v 27909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-hv0cl 27988  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his3 28069  ax-his4 28070

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-2 11117  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885

This theorem is referenced by:  ho02i  28816