HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hi01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hi01 28287
Description: Inner product with the 0 vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hi01 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝐴) = 0)

Proof of Theorem hi01
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 28194 . . . . 5 0 ∈ ℋ
2 ax-hvmul0 28201 . . . . 5 (0 ∈ ℋ → (0 · 0) = 0)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (0 · 0) = 0
43oveq1i 6802 . . 3 ((0 · 0) ·ih 𝐴) = (0 ·ih 𝐴)
5 0cn 10233 . . . 4 0 ∈ ℂ
6 ax-his3 28275 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((0 · 0) ·ih 𝐴) = (0 · (0 ·ih 𝐴)))
75, 1, 6mp3an12 1561 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → ((0 · 0) ·ih 𝐴) = (0 · (0 ·ih 𝐴)))
84, 7syl5eqr 2818 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝐴) = (0 · (0 ·ih 𝐴)))
9 hicl 28271 . . . 4 ((0 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (0 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
101, 9mpan 662 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
1110mul02d 10435 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (0 · (0 ·ih 𝐴)) = 0)
128, 11eqtrd 2804 1 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1630  wcel 2144  (class class class)co 6792  cc 10135  0cc0 10137   · cmul 10142  chil 28110   · csm 28112   ·ih csp 28113  0c0v 28115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-hv0cl 28194  ax-hvmul0 28201  ax-hfi 28270  ax-his3 28275
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-ltxr 10280
This theorem is referenced by:  hi02  28288  hiidge0  28289  his6  28290  hial0  28293  normgt0  28318  norm0  28319  ocsh  28476  0hmop  29176  adj0  29187  lnopeq0i  29200  leop3  29318  leoprf2  29320  leoprf  29321  idleop  29324
  Copyright terms: Public domain W3C validator