Theorem hhssva 28444

Description: The vector addition operation on a subspace. (Contributed by NM, 8-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhss.1	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩

Assertion

Ref	Expression
hhssva	⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( +𝑣 ‘𝑊)

Proof of Theorem hhssva

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
2	1	vafval 27788	. 2 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = (1st ‘(1st ‘𝑊))
3		hhss.1	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
4	3	fveq2i 6356	. . . 4 ⊢ (1st ‘𝑊) = (1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩)
5		opex 5081	. . . . 5 ⊢ ⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩ ∈ V
6		normf 28310	. . . . . . 7 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
7		ax-hilex 28186	. . . . . . 7 ⊢ ℋ ∈ V
8		fex 6654	. . . . . . 7 ⊢ ((normℎ: ℋ⟶ℝ ∧ ℋ ∈ V) → normℎ ∈ V)
9	6, 7, 8	mp2an 710	. . . . . 6 ⊢ normℎ ∈ V
10	9	resex 5601	. . . . 5 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) ∈ V
11	5, 10	op1st 7342	. . . 4 ⊢ (1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩) = ⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩
12	4, 11	eqtri 2782	. . 3 ⊢ (1st ‘𝑊) = ⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩
13	12	fveq2i 6356	. 2 ⊢ (1st ‘(1st ‘𝑊)) = (1st ‘⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩)
14		hilablo 28347	. . . 4 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
15		resexg 5600	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V)
16	14, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V
17		hvmulex 28198	. . . 4 ⊢ ·ℎ ∈ V
18	17	resex 5601	. . 3 ⊢ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ∈ V
19	16, 18	op1st 7342	. 2 ⊢ (1st ‘⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩) = ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
20	2, 13, 19	3eqtrri 2787	1 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( +𝑣 ‘𝑊)

Syntax hints:   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340  ⟨cop 4327   × cxp 5264   ↾ cres 5268  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  1^st c1st 7332  ℂcc 10146  ℝcr 10147  AbelOpcablo 27728   +_𝑣 cpv 27770   ℋchil 28106   +_ℎ cva 28107   ·_ℎ csm 28108  norm_ℎcno 28110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-hilex 28186  ax-hfvadd 28187  ax-hvcom 28188  ax-hvass 28189  ax-hv0cl 28190  ax-hvaddid 28191  ax-hfvmul 28192  ax-hvmulid 28193  ax-hvdistr2 28196  ax-hvmul0 28197  ax-hfi 28266  ax-his1 28269  ax-his3 28271  ax-his4 28272

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-grpo 27677  df-ablo 27729  df-va 27780  df-hnorm 28155  df-hvsub 28158

This theorem is referenced by:  hhsst  28453  hhsssh2  28457