Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhsscms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhsscms 28264
 Description: The induced metric of a closed subspace is complete. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhssims2.1 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
hhssims2.3 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
hhsscms.3 𝐻C
Assertion
Ref Expression
hhsscms 𝐷 ∈ (CMet‘𝐻)

Proof of Theorem hhsscms
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . 2 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2 hhssims2.1 . . 3 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
3 hhssims2.3 . . 3 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
4 hhsscms.3 . . . 4 𝐻C
54chshii 28212 . . 3 𝐻S
62, 3, 5hhssmet 28262 . 2 𝐷 ∈ (Met‘𝐻)
7 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷))
82, 3, 5hhssims2 28261 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = ((norm ∘ − ) ↾ (𝐻 × 𝐻))
98fveq2i 6232 . . . . . . . . . 10 (Cau‘𝐷) = (Cau‘((norm ∘ − ) ↾ (𝐻 × 𝐻)))
107, 9syl6eleq 2740 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ (Cau‘((norm ∘ − ) ↾ (𝐻 × 𝐻))))
11 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (norm ∘ − ) = (norm ∘ − )
1211hilxmet 28180 . . . . . . . . . 10 (norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ)
13 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓:ℕ⟶𝐻)
14 causs 23142 . . . . . . . . . 10 (((norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → (𝑓 ∈ (Cau‘(norm ∘ − )) ↔ 𝑓 ∈ (Cau‘((norm ∘ − ) ↾ (𝐻 × 𝐻)))))
1512, 13, 14sylancr 696 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → (𝑓 ∈ (Cau‘(norm ∘ − )) ↔ 𝑓 ∈ (Cau‘((norm ∘ − ) ↾ (𝐻 × 𝐻)))))
1610, 15mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ (Cau‘(norm ∘ − )))
174chssii 28216 . . . . . . . . . 10 𝐻 ⊆ ℋ
18 fss 6094 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ℕ⟶𝐻𝐻 ⊆ ℋ) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
1913, 17, 18sylancl 695 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
20 ax-hilex 27984 . . . . . . . . . 10 ℋ ∈ V
21 nnex 11064 . . . . . . . . . 10 ℕ ∈ V
2220, 21elmap 7928 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
2319, 22sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
24 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
2524, 11hhims 28157 . . . . . . . . . 10 (norm ∘ − ) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
2624, 25hhcau 28183 . . . . . . . . 9 Cauchy = ((Cau‘(norm ∘ − )) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
2726elin2 3834 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ Cauchy ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘(norm ∘ − )) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
2816, 23, 27sylanbrc 699 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ Cauchy)
29 ax-hcompl 28187 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓𝑣 𝑥)
30 vex 3234 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
31 vex 3234 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
3230, 31breldm 5361 . . . . . . . 8 (𝑓𝑣 𝑥𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
3332rexlimivw 3058 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓𝑣 𝑥𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
3428, 29, 333syl 18 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
35 hlimf 28222 . . . . . . 7 𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
36 ffun 6086 . . . . . . 7 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
37 funfvbrb 6370 . . . . . . 7 (Fun ⇝𝑣 → (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣𝑓𝑣 ( ⇝𝑣𝑓)))
3835, 36, 37mp2b 10 . . . . . 6 (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣𝑓𝑣 ( ⇝𝑣𝑓))
3934, 38sylib 208 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓𝑣 ( ⇝𝑣𝑓))
40 eqid 2651 . . . . . . . 8 (MetOpen‘(norm ∘ − )) = (MetOpen‘(norm ∘ − ))
4124, 25, 40hhlm 28184 . . . . . . 7 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
42 resss 5457 . . . . . . 7 ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
4341, 42eqsstri 3668 . . . . . 6 𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
4443ssbri 4730 . . . . 5 (𝑓𝑣 ( ⇝𝑣𝑓) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))( ⇝𝑣𝑓))
4539, 44syl 17 . . . 4 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))( ⇝𝑣𝑓))
468, 40, 1metrest 22376 . . . . . . 7 (((norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ) ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → ((MetOpen‘(norm ∘ − )) ↾t 𝐻) = (MetOpen‘𝐷))
4712, 17, 46mp2an 708 . . . . . 6 ((MetOpen‘(norm ∘ − )) ↾t 𝐻) = (MetOpen‘𝐷)
4847eqcomi 2660 . . . . 5 (MetOpen‘𝐷) = ((MetOpen‘(norm ∘ − )) ↾t 𝐻)
49 nnuz 11761 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
504a1i 11 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝐻C )
5140mopntop 22292 . . . . . 6 ((norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ Top)
5212, 51mp1i 13 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ Top)
53 fvex 6239 . . . . . . 7 ( ⇝𝑣𝑓) ∈ V
5453chlimi 28219 . . . . . 6 ((𝐻C𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 ( ⇝𝑣𝑓)) → ( ⇝𝑣𝑓) ∈ 𝐻)
5550, 13, 39, 54syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → ( ⇝𝑣𝑓) ∈ 𝐻)
56 1zzd 11446 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 1 ∈ ℤ)
5748, 49, 50, 52, 55, 56, 13lmss 21150 . . . 4 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → (𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))( ⇝𝑣𝑓) ↔ 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))( ⇝𝑣𝑓)))
5845, 57mpbid 222 . . 3 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))( ⇝𝑣𝑓))
5930, 53breldm 5361 . . 3 (𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))( ⇝𝑣𝑓) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
6058, 59syl 17 . 2 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
611, 6, 60iscmet3i 23156 1 𝐷 ∈ (CMet‘𝐻)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685   × cxp 5141  dom cdm 5143   ↾ cres 5145   ∘ ccom 5147  Fun wfun 5920  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↑𝑚 cmap 7899  ℂcc 9972  1c1 9975  ℕcn 11058   ↾t crest 16128  ∞Metcxmt 19779  MetOpencmopn 19784  Topctop 20746  ⇝𝑡clm 21078  Caucca 23097  CMetcms 23098  IndMetcims 27574   ℋchil 27904   +ℎ cva 27905   ·ℎ csm 27906  normℎcno 27908   −ℎ cmv 27910  Cauchyccau 27911   ⇝𝑣 chli 27912   Cℋ cch 27914 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070  ax-hcompl 28187 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-ntr 20872  df-nei 20950  df-lm 21081  df-haus 21167  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-cfil 23099  df-cau 23100  df-cmet 23101  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583  df-ims 27584  df-ssp 27705  df-hnorm 27953  df-hba 27954  df-hvsub 27956  df-hlim 27957  df-hcau 27958  df-sh 28192  df-ch 28206  df-ch0 28238 This theorem is referenced by:  hhssbn  28265
 Copyright terms: Public domain W3C validator