Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssabloilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhssabloilem 28427
 Description: Lemma for hhssabloi 28428. Formerly part of proof for hhssabloi 28428 which was based on the deprecated definition "SubGrpOp" for subgroups. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (Revised by AV, 27-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhssabl.1 𝐻S
Assertion
Ref Expression
hhssabloilem ( + ∈ GrpOp ∧ ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ + )

Proof of Theorem hhssabloilem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hilablo 28326 . . 3 + ∈ AbelOp
2 ablogrpo 27710 . . 3 ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
31, 2ax-mp 5 . 2 + ∈ GrpOp
4 hhssabl.1 . . . 4 𝐻S
54elexi 3353 . . 3 𝐻 ∈ V
6 eqid 2760 . . . . . . . 8 ran + = ran +
76grpofo 27662 . . . . . . 7 ( + ∈ GrpOp → + :(ran + × ran + )–onto→ran + )
8 fof 6276 . . . . . . 7 ( + :(ran + × ran + )–onto→ran + → + :(ran + × ran + )⟶ran + )
93, 7, 8mp2b 10 . . . . . 6 + :(ran + × ran + )⟶ran +
104shssii 28379 . . . . . . . 8 𝐻 ⊆ ℋ
11 df-hba 28135 . . . . . . . . 9 ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
12 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
1312hhva 28332 . . . . . . . . 9 + = ( +𝑣 ‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
1411, 13bafval 27768 . . . . . . . 8 ℋ = ran +
1510, 14sseqtri 3778 . . . . . . 7 𝐻 ⊆ ran +
16 xpss12 5281 . . . . . . 7 ((𝐻 ⊆ ran +𝐻 ⊆ ran + ) → (𝐻 × 𝐻) ⊆ (ran + × ran + ))
1715, 15, 16mp2an 710 . . . . . 6 (𝐻 × 𝐻) ⊆ (ran + × ran + )
18 fssres 6231 . . . . . 6 (( + :(ran + × ran + )⟶ran + ∧ (𝐻 × 𝐻) ⊆ (ran + × ran + )) → ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶ran + )
199, 17, 18mp2an 710 . . . . 5 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶ran +
20 ffn 6206 . . . . 5 (( + ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶ran + → ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) Fn (𝐻 × 𝐻))
2119, 20ax-mp 5 . . . 4 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) Fn (𝐻 × 𝐻)
22 ovres 6965 . . . . . 6 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
23 shaddcl 28383 . . . . . . 7 ((𝐻S𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻)
244, 23mp3an1 1560 . . . . . 6 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻)
2522, 24eqeltrd 2839 . . . . 5 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻)
2625rgen2a 3115 . . . 4 𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻
27 ffnov 6929 . . . 4 (( + ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶𝐻 ↔ (( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) Fn (𝐻 × 𝐻) ∧ ∀𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻))
2821, 26, 27mpbir2an 993 . . 3 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶𝐻
2922oveq1d 6828 . . . . 5 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → ((𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧))
30293adant3 1127 . . . 4 ((𝑥𝐻𝑦𝐻𝑧𝐻) → ((𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧))
31 ovres 6965 . . . . 5 (((𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻𝑧𝐻) → ((𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = ((𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) + 𝑧))
3225, 31stoic3 1850 . . . 4 ((𝑥𝐻𝑦𝐻𝑧𝐻) → ((𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = ((𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) + 𝑧))
33 ovres 6965 . . . . . . 7 ((𝑦𝐻𝑧𝐻) → (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = (𝑦 + 𝑧))
3433oveq2d 6829 . . . . . 6 ((𝑦𝐻𝑧𝐻) → (𝑥 + (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
35343adant1 1125 . . . . 5 ((𝑥𝐻𝑦𝐻𝑧𝐻) → (𝑥 + (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
3628fovcl 6930 . . . . . . 7 ((𝑦𝐻𝑧𝐻) → (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) ∈ 𝐻)
37 ovres 6965 . . . . . . 7 ((𝑥𝐻 ∧ (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) ∈ 𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 + (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
3836, 37sylan2 492 . . . . . 6 ((𝑥𝐻 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 + (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
39383impb 1108 . . . . 5 ((𝑥𝐻𝑦𝐻𝑧𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 + (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
4015sseli 3740 . . . . . 6 (𝑥𝐻𝑥 ∈ ran + )
4115sseli 3740 . . . . . 6 (𝑦𝐻𝑦 ∈ ran + )
4215sseli 3740 . . . . . 6 (𝑧𝐻𝑧 ∈ ran + )
436grpoass 27666 . . . . . . 7 (( + ∈ GrpOp ∧ (𝑥 ∈ ran +𝑦 ∈ ran +𝑧 ∈ ran + )) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
443, 43mpan 708 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ran +𝑦 ∈ ran +𝑧 ∈ ran + ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
4540, 41, 42, 44syl3an 1164 . . . . 5 ((𝑥𝐻𝑦𝐻𝑧𝐻) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
4635, 39, 453eqtr4d 2804 . . . 4 ((𝑥𝐻𝑦𝐻𝑧𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧))
4730, 32, 463eqtr4d 2804 . . 3 ((𝑥𝐻𝑦𝐻𝑧𝐻) → ((𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
48 hilid 28327 . . . 4 (GId‘ + ) = 0
49 sh0 28382 . . . . 5 (𝐻S → 0𝐻)
504, 49ax-mp 5 . . . 4 0𝐻
5148, 50eqeltri 2835 . . 3 (GId‘ + ) ∈ 𝐻
52 ovres 6965 . . . . 5 (((GId‘ + ) ∈ 𝐻𝑥𝐻) → ((GId‘ + )( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = ((GId‘ + ) + 𝑥))
5351, 52mpan 708 . . . 4 (𝑥𝐻 → ((GId‘ + )( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = ((GId‘ + ) + 𝑥))
54 eqid 2760 . . . . . 6 (GId‘ + ) = (GId‘ + )
556, 54grpolid 27679 . . . . 5 (( + ∈ GrpOp ∧ 𝑥 ∈ ran + ) → ((GId‘ + ) + 𝑥) = 𝑥)
563, 40, 55sylancr 698 . . . 4 (𝑥𝐻 → ((GId‘ + ) + 𝑥) = 𝑥)
5753, 56eqtrd 2794 . . 3 (𝑥𝐻 → ((GId‘ + )( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = 𝑥)
5812hhnv 28331 . . . . . . 7 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec
5912hhsm 28335 . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠OLD ‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
60 eqid 2760 . . . . . . . 8 ( ·(2nd ↾ ({-1} × V))) = ( ·(2nd ↾ ({-1} × V)))
6113, 59, 60nvinvfval 27804 . . . . . . 7 (⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec → ( ·(2nd ↾ ({-1} × V))) = (inv‘ + ))
6258, 61ax-mp 5 . . . . . 6 ( ·(2nd ↾ ({-1} × V))) = (inv‘ + )
6362eqcomi 2769 . . . . 5 (inv‘ + ) = ( ·(2nd ↾ ({-1} × V)))
6463fveq1i 6353 . . . 4 ((inv‘ + )‘𝑥) = (( ·(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥)
65 ax-hfvmul 28171 . . . . . . 7 · :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
66 ffn 6206 . . . . . . 7 ( · :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ → · Fn (ℂ × ℋ))
6765, 66ax-mp 5 . . . . . 6 · Fn (ℂ × ℋ)
68 neg1cn 11316 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
6960curry1val 7438 . . . . . 6 (( · Fn (ℂ × ℋ) ∧ -1 ∈ ℂ) → (( ·(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥) = (-1 · 𝑥))
7067, 68, 69mp2an 710 . . . . 5 (( ·(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥) = (-1 · 𝑥)
71 shmulcl 28384 . . . . . 6 ((𝐻S ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (-1 · 𝑥) ∈ 𝐻)
724, 68, 71mp3an12 1563 . . . . 5 (𝑥𝐻 → (-1 · 𝑥) ∈ 𝐻)
7370, 72syl5eqel 2843 . . . 4 (𝑥𝐻 → (( ·(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥) ∈ 𝐻)
7464, 73syl5eqel 2843 . . 3 (𝑥𝐻 → ((inv‘ + )‘𝑥) ∈ 𝐻)
75 ovres 6965 . . . . 5 ((((inv‘ + )‘𝑥) ∈ 𝐻𝑥𝐻) → (((inv‘ + )‘𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (((inv‘ + )‘𝑥) + 𝑥))
7674, 75mpancom 706 . . . 4 (𝑥𝐻 → (((inv‘ + )‘𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (((inv‘ + )‘𝑥) + 𝑥))
77 eqid 2760 . . . . . 6 (inv‘ + ) = (inv‘ + )
786, 54, 77grpolinv 27689 . . . . 5 (( + ∈ GrpOp ∧ 𝑥 ∈ ran + ) → (((inv‘ + )‘𝑥) + 𝑥) = (GId‘ + ))
793, 40, 78sylancr 698 . . . 4 (𝑥𝐻 → (((inv‘ + )‘𝑥) + 𝑥) = (GId‘ + ))
8076, 79eqtrd 2794 . . 3 (𝑥𝐻 → (((inv‘ + )‘𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (GId‘ + ))
815, 28, 47, 51, 57, 74, 80isgrpoi 27661 . 2 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp
82 resss 5580 . 2 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +
833, 81, 823pm3.2i 1424 1 ( + ∈ GrpOp ∧ ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ + )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  {csn 4321  ⟨cop 4327   × cxp 5264  ◡ccnv 5265  ran crn 5267   ↾ cres 5268   ∘ ccom 5270   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  –onto→wfo 6047  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  2nd c2nd 7332  ℂcc 10126  1c1 10129  -cneg 10459  GrpOpcgr 27652  GIdcgi 27653  invcgn 27654  AbelOpcablo 27707  NrmCVeccnv 27748   ℋchil 28085   +ℎ cva 28086   ·ℎ csm 28087  normℎcno 28089  0ℎc0v 28090   Sℋ csh 28094 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-hilex 28165  ax-hfvadd 28166  ax-hvcom 28167  ax-hvass 28168  ax-hv0cl 28169  ax-hvaddid 28170  ax-hfvmul 28171  ax-hvmulid 28172  ax-hvmulass 28173  ax-hvdistr1 28174  ax-hvdistr2 28175  ax-hvmul0 28176  ax-hfi 28245  ax-his1 28248  ax-his2 28249  ax-his3 28250  ax-his4 28251 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-grpo 27656  df-gid 27657  df-ginv 27658  df-ablo 27708  df-vc 27723  df-nv 27756  df-va 27759  df-ba 27760  df-sm 27761  df-0v 27762  df-nmcv 27764  df-hnorm 28134  df-hba 28135  df-hvsub 28137  df-sh 28373 This theorem is referenced by:  hhssabloi  28428
 Copyright terms: Public domain W3C validator